Identidad de Ramanujan relacionada con JacobiFunction [duplicado]

Aug 18 2020

La siguiente identidad supuestamente se debe a Ramanujan $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$pero ¿cómo pruebas esto? El denominador del lado derecho está relacionado con la función de Jacobi, por lo que tal vez se podría proceder a través de formas modulares.

Respuestas

2 JackD'Aurizio Aug 18 2020 at 22:44

Una respuesta parcial por ahora. Tenemos que demostrar que$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ o $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ o $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$

donde el LHS, según el teorema del número pentagonal de Euler, es igual a $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ y el coeficiente de $r^m$ en $\prod_{n>k}(1-r^n)$ depende del número de particiones de $m$ en distintas partes con cardinalidad $>k$, contabilizado con signo positivo o negativo según el número de piezas.

Ahora bien, no debería ser difícil probar nuestra afirmación utilizando la misma involución explotada en la demostración combinatoria del teorema del número pentagonal de Euler, o algo bastante parecido.