Imagen de conjunto compacto en función continua por partes

Question

Dejar $a,b>0\in\mathbb{R}$. Dejar$U$ ser un dominio en $\mathbb{C}^n$. Dejar$f:[a,b]\longrightarrow U$ser un mapa continuo por partes. Entonces es$f[a,b]$¿compacto? Si no es compacto, ¿estará acotado?

Okay. Esto está en el siguiente contexto. Me dan un camino suave a partes$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Dónde$\gamma(a)=z$ y $\gamma(b)=w$, por dado $z,w\in U$. También se nos da una función$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$, que es semicontinuo superior. Ahora se dice que$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$es acotado y medible. Quería saber por qué la función está limitada. Yo sé eso$\gamma[a,b]$es compacto. Y$\gamma$siendo semicontinuo superior alcanzará su máximo en un conjunto compacto. Pero no estoy seguro de$\gamma’$.

Answer 1

Compacto, no necesariamente: encendido $[0,1]$ dejar $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ Luego $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$

Limitado, sí: Primero, un lema: Si $f$ es continuo en $(a,b)$ y $f$ tiene límites finitos en los puntos finales, entonces $f(a,b)$ está ligado.

Prueba: Supongamos $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ Dejar $\epsilon=1.$ Entonces existe $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ tal que $|f(x)-L|<1$ para $x\in (a,a+\delta_a).$ Así para tal $x,$

$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$

Del mismo modo, existe $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ tal que $|f(x)|<1+|M|$ para $x\in (b-\delta_b,b).$ Resulta que $f$ está delimitado en el set $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$

Ya que $f$ es continuo en el conjunto compacto $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$es compacto, por lo tanto está acotado. Resulta que$f(a,b)$ está ligado.

Ahora suponga $f$ es continuo por partes en $[a,b].$ Entonces existen puntos $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ tal que $f$ es continuo en cada $I_k=(x_{k-1},x_k)$ y tiene límites finitos en los puntos finales de $I_k.$ Por el lema, cada $f(I_k)$está ligado. El conjunto$f(\{x_0,\dots x_n\})$también está acotado. Por lo tanto

$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$

está ligado.