$\int \limits_{0}^{\infty}x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$ [duplicar]

Question

Esto probablemente surge mucho con las distribuciones de probabilidad exponencial:

Cómo demostrar eso:

$$\int \limits_{0}^{\infty}x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$$

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Miro en una tabla matemática de integrales, obtengo:

$$\int x^n e^{ax}~dx = \frac{x^n~e^{ax}}{a} - \frac{n}{a} \int x^{n-1}~e^{ax}~dx$$

$$\int x^n e^{ax}~dx = \frac{e^{ax}}{a}\bigg[ x^n - \frac{n~x^{n-1}}{a} + \frac{n~(n-1)~x^{n-2}}{a^2} - \cdots \frac{(-1)^n~ n!}{a^n}\bigg]~~~(\text{n is positive})$$

no es exactamente la fórmula fácil y agradable que estaba buscando ...

Answer 1

\begin{align} & \int\limits_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx \\[8pt] = {} & \int\limits_0^\infty (ax)^n e^{-ax} (a\,dx) \cdot \frac 1 {a^{n+1}} \\[8pt] = {} & \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} \, dt \cdot \frac 1{a^{n+1}} \end{align} Que se encarga de $\text{“}a\text{.''}$

\begin{align} & \int\limits_0^\infty t^n (e^{-t}\, du) = \overbrace{\int\limits_0^\infty u\,dv = \Big[ uv\Big]_{x\,:=\,0}^\infty - \int\limits_0^\infty v\, du}^\text{integration by parts} \\[10pt] = {} & \Big[ -t^n e^{-t} \Big]_{x\,:=\,0}^\infty -\int\limits_0^\infty -nt^{n-1} e^{-t} \, dt \\[10pt] = {} & \lim_{t\to\infty} \frac{-t^n}{e^t} + n \int\limits_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dt. \end{align} Se puede demostrar que el límite es $0$a través de la regla de L'Hopital. Ahora tenemos\begin{align} \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} \, dt & = n \int\limits_0^\infty t^{n-1} e^{-t} \, dt \\[10pt] & = n(n-1) \int\limits_0^\infty t^{n-2} e^{-t} \, dt \\[10pt] & = n(n-1)(n-2) \int\limits_0^\infty t^{n-3} e^{-t} \, dt \quad \text{etc.} \end{align}