¿Integra sin usar Cosine Integral?

Question

Así que he demostrado eso $\int_{-1}^{1} \sin{\frac{1}{x}} dx$es integrable utilizando teoremas especializados para la integrabilidad. Mi pregunta es si quisiera calcular esta integral ahora, ¿hay alguna manera de hacerlo sin usar la integral del coseno?$Ci(x)$después de la integración por partes. Lo que quiero decir es que hasta ahora he llegado aquí:

$\int_{-1}^{1}\sin{\frac{1}{x}}dx = x\sin{\frac{1}{x}}\Big|_{-1}^{1}+\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$

Entonces, ¿hay alguna manera de evaluar la integral $\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$ sin uso $Ci(x)$?

Answer 1

Ya que $\;f(x)=\cfrac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\;$ es una función extraña, resulta que $$\int_{-1}^{1}\cfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx=0\;.$$