Integrando $\text{sech}(x)$ usando un método de sustitución hiperbólico

Question

Se me ha encomendado encontrar $\int{\text{sech}(x)dx}$ usando sustituciones hiperbólicas y trigonométricas, para el método de sustitución trigonométrica hice lo siguiente. $$I=\int{\frac{2e^x}{e^{2x}+1}dx} $$ $$\text{Let} \space u=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}du $$ Luego aplicando la primera sustitución y usando la sustitución trigonométrica de $u=\tan(t)$: $$\therefore I=\int\frac{2u(\frac{1}{u})}{u^2+1}du \iff \int\frac{2}{u^2+1}du$$ $$\text{Let}\space u=\tan(t) \implies du=\sec^2(t)dt$$ Y simplificando: $$\therefore I=2\int{\frac{\sec^2(t)}{tan^2(t)+1}dt \iff 2\int{1dt}}$$ $$I=2t$$ Y finalmente resustituyendo variables para traerlo de vuelta en términos de $x$: $$\because t=\arctan(u) , \space u=e^x$$ $$\therefore I=2\arctan(e^x) + c$$

Lo que verifica en wolfram alfa, sin embargo, para sustituciones hiperbólicas he intentado usar $u=\text{sinh}(t)$ que solo devuelve la integral original:

$$\text{Let} \space u=\text{sinh}(t) \iff du=\text{cosh}(t)dt$$ $$\therefore I=2\int{\frac{\text{cosh}(t)}{\text{sinh}^2(t)+1}dt} \iff 2\int{\frac{1}{\text{cosh}(t)}dt}$$

También he intentado utilizar la sustitución de $u=\text{csch}(t)$ lo que también llevó de regreso a la integral original, también mi conocimiento no hay otras sustituciones hiperbólicas útiles para llevar a cabo en esta integral.

¿He cometido un error en mi integración o me falta alguna sustitución útil que se pueda realizar aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $ x\in\mathbb{R} $, $ \cosh{x}=\frac{\cosh{\left(2\times\frac{x}{2}\right)}}{1}=\frac{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}=\frac{1+\tanh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\tan^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}} $.

Sustituyendo $ \left\lbrace\begin{matrix}y=\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\\ \mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}y}{1-y^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. $, obtenemos : \begin{aligned}\int{\frac{\mathrm{d}x}{\cosh{x}}}&=2\int{\frac{\mathrm{d}y}{1+y^{2}}}\\&=2\arctan{y}+C\\&=2\arctan{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}+C\end{aligned}