Intercambio $L^p$ norma e integral

Question

Es cierto que $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ dónde $T\leq{\infty}$?

Puedo probar una desigualdad similar en el ase $T<\infty$, utilizando la desigualdad de Holder y el teorema de Fubini para obtener $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

pero no puedo ver cómo llegar a la desigualdad final desde aquí, y no puedo ver que sería cierto para el caso $T=\infty$.

Answer 1

Una forma elegante de demostrar la desigualdad. $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ para funciones con valores en un espacio de Banach $(X,\|\cdot\|)$ es la fórmula de la norma $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(que es una consecuencia de Hahn-Banach). por$\phi\in X^*$ con $\|\phi\|^*\le 1$ usted obtiene $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ donde la última desigualdad usa solo la monotonicidad de la integral.