Interpretación geométrica de matriz $A-B$
¿Existe una interpretación geométrica de la resta de dos matrices, con un caso especial de $I -A$ (resta de una matriz de la matriz de identidad)?
Referencia: Si $A$ es una matriz idempotente, el rango de $A$ y el rango de $I-A$son conjuntos disjuntos. Tratando de entenderlo geométricamente.
Si alguien puede explicar geométricamente el caso general de la resta de matrices, será de gran ayuda.
Respuestas
No creo que haya una respuesta general para $A-B$, pero en el caso de $I-A$, más precisamente en el caso de $Q=I-P$ dónde $P$ es una matriz de proyección ortogonal (es decir, una matriz idempotente como usted dice) en un cierto subespacio $S$, luego $Q=I-P$ es la proyección ortogonal sobre el complemento ortogonal $S^{\perp}$ de $S$.
Por ejemplo, en 3D, considere la línea $S$ con ecuaciones $x=y=z$, con vector unitario normado $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matriz de proyección ortogonal sobre$S$ es la matriz de rango uno (rango uno porque el espacio de rango es unidimensional):
$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
y
$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$
es la proyección ortogonal en el plano $S^{\perp}$ ortogonal a $S$ con ecuación $x+y+z=0$, (con una matriz de rango 2, porque el espacio de rango ahora es bidimensional).