Interpretación geométrica de matriz $A-B$

Aug 17 2020

¿Existe una interpretación geométrica de la resta de dos matrices, con un caso especial de $I -A$ (resta de una matriz de la matriz de identidad)?

Referencia: Si $A$ es una matriz idempotente, el rango de $A$ y el rango de $I-A$son conjuntos disjuntos. Tratando de entenderlo geométricamente.

Si alguien puede explicar geométricamente el caso general de la resta de matrices, será de gran ayuda.

Respuestas

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 13:50

No creo que haya una respuesta general para $A-B$, pero en el caso de $I-A$, más precisamente en el caso de $Q=I-P$ dónde $P$ es una matriz de proyección ortogonal (es decir, una matriz idempotente como usted dice) en un cierto subespacio $S$, luego $Q=I-P$ es la proyección ortogonal sobre el complemento ortogonal $S^{\perp}$ de $S$.

Por ejemplo, en 3D, considere la línea $S$ con ecuaciones $x=y=z$, con vector unitario normado $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matriz de proyección ortogonal sobre$S$ es la matriz de rango uno (rango uno porque el espacio de rango es unidimensional):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

y

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

es la proyección ortogonal en el plano $S^{\perp}$ ortogonal a $S$ con ecuación $x+y+z=0$, (con una matriz de rango 2, porque el espacio de rango ahora es bidimensional).