Interpretación y unidades de un elemento de covarianza en el riesgo de cartera
Dado el riesgo de cartera es $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ dónde $\boldsymbol{\Sigma}$ es la matriz de covarianza cuyos elementos diagonales $\sigma^2_{n}$ son variaciones de rendimiento de activos individuales y cuyos elementos fuera de la diagonal son covarianzas de activos por pares, $\sigma_{n,\neg n}$
cuál es la interpretación del elemento $\sigma_{1,2}$ en $\boldsymbol{\Sigma}$y ¿cómo describiría sus unidades?
Si $\sigma_{1,2}=0.1$ ¿Sería correcto decir lo siguiente?
"los movimientos en los rendimientos del activo 1 en promedio covarían con los movimientos de rendimiento del activo 2 en un 10% de desviaciones estándar y viceversa"
Respuestas
El problema de la interpretación y las unidades, es decir, la falta de una respuesta fácilmente intuitiva, es precisamente por qué los cuantos / econometristas, etc. tienden a evitar hablar demasiado sobre covarianzas [incluso si son absolutamente necesarias; y de uso frecuente]. Por lo tanto, si hay que interpretar, y mucho menos explicar, algo que involucre covarianzas, el valor predeterminado suele ser expresarlo en términos de correlación, que tiene unidades intuitivas: acotado [-1,1] con 0 = independencia, etc.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Entonces, las "unidades" aquí son una combinación de productos de tres medidas, cada una con sus propias unidades: dos volatilidades y una medida de asociación limitada. Como tales, existen pero carecen de una explicación intuitiva.
Lo más cercano que se puede hacer es expresar la covarianza como un cambio marginal en la varianza de la cartera por cambio de unidad en el producto de los pesos 1 y 2. Lo que sigue siendo poco elegante en extremo, para ser educado ;-)
Recuerde también que la versión beta de OLS tradicional se puede expresar como:
Beta (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Entonces, un cambio de +1 en Asset2 tiene un +0.1 dividido por su efecto de variación en Asset1. Lo que es lo mismo que decir que un movimiento sigma +1 en Asset2 tiene un 0.1 dividido por su desviación estándar en Asset1. Que es lo mismo que decir (donde Z = 1 es un choque de 1 sigma):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Entonces, la forma de hacer el tipo de declaración que intenta hacer arriba intuitiva sigue siendo traducir sus covarianzas en correlaciones (intuitivas) sin unidades. Un movimiento de un sigma en 1 o 2 tendrá un efecto marginal de Cor (1,2) sigma en el otro.
Independientemente de cómo aborde esto, siempre debe procesar la covarianza a través de una métrica adicional (con sus propias unidades, ya sean rendimientos absolutos, rendimientos ajustados por volumen o ponderaciones) para generar aquí cualquier resultado explicativo intuitivo. La formulación tradicional de w.Cov.w es eficaz para predecir el riesgo de la cartera; pero cuando se trata de interpretación y explicación, falla a lo grande. Es por eso que las publicaciones inevitablemente muestran con preferencia las matrices de correlación asociadas. Los dos siempre le darán los mismos resultados / pronósticos; con la elección entre los dos en última instancia una cuestión de predicción versus interpretación (es decir, de naturaleza presentacional).
Por lo tanto, supongamos que la cartera está compuesta en su totalidad por consols o bonos con descuento de un solo período. Esto sería dudoso para las acciones porque$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ y $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$si ignora el efecto de los dividendos. Eso hace que los retornos sean la distribución del producto de dos distribuciones de razón. Modelos como el CAPM escapan a este problema asumiendo que todos los parámetros son conocidos y que nadie está haciendo ninguna estimación. Bajo supuestos leves, estos retornos no tendrían una matriz de covarianza definida incluso en el espacio logarítmico.
Sin embargo, con respecto a su pregunta, es importante recordar que parámetros como $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$se consideran puntos fijos en la teoría frecuentista. Los modelos como el CAPM no funcionan en un espacio bayesiano porque los parámetros son variables aleatorias.
Entonces, en respuesta a su pregunta, las unidades de $\sigma_{i,j}$están en rendimientos de exceso / déficit cuadrados con signo direccional de la expectativa conjunta. Podría pensarse en un área con dirección.
La interpretación habitual siempre se escala por la varianza al señalar que $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: Leí un poco más y dice así. (sin hablar de esto con respecto a CAPM ni comentar sobre su discusión actual con Dave). Suponga que tiene$\sigma_{(1,2)}$ que denota la covarianza (de los rendimientos) de la acción 1 y la acción 2. Denote $x$ como las devoluciones (en la muestra) del stock 1 y $y$ como las devoluciones (en la muestra) de stock 2.
El primer paso hacia la interpretación es tomar $\sigma_{(1,2)}$ y dividirlo por la varianza muestral de los rendimientos de las acciones 1. Llame a esto $\beta_{(1,2)}$. Entonces, una vez que hagas esto,$\beta_{(1,2)}$ se puede interpretar como el coeficiente (no el intercepto. el otro) de una regresión simple de los rendimientos de la acción 1 versus los rendimientos de la acción de stock_2 donde los rendimientos de la acción 2 son la respuesta ($y$) y los rendimientos de la acción 1 son el predictor ($x$).
El hecho de que $\sigma_{(1,2)}$es 0.1 realmente no significa mucho porque debe dividirse por la varianza muestral de los rendimientos de las acciones de la acción 1 para que se describa la interpretación de regresión. Por supuesto, si la varianza muestral de los rendimientos del stock 1 resultara ser 1.0, entonces se podría interpretar la covarianza como la cantidad estimada que aumenta el rendimiento del stock 2 por cada unidad de aumento en el rendimiento del stock 1.
Tenga en cuenta que la aparente contradicción a la que me referí en mi publicación original (que me confundió) no existe porque si cambiamos la regresión e hicimos que la acción 1 devuelve (x) la respuesta y la acción 2 devuelve (y) el predictor, entonces uno necesitaría dividir la covarianza, $\sigma_{(1,2)}$por la varianza muestral de los rendimientos de la acción 2 (y) en lugar de la varianza muestral de los rendimientos de la acción 1 (x). Entonces, no hay inconsistencia en la definición. Espero que esto aclare las cosas.
Oh, también, por lo que puedo decir, tampoco parece haber ninguna relación entre la covarianza y el R ^ 2 de la regresión que pensé erróneamente que era el caso. Mis disculpas por la confusión.