Intuitivamente, ¿cuál es la superposición / diferencia general entre transformaciones conformales y ortogonales, o los términos en general?
He tenido dificultades para encontrar una definición clara de las diferencias entre los dos en términos prácticos / geométricos. Las transformaciones ortogonales son aquellas en las que las superficies o trayectorias coordinadas se encuentran en ángulos rectos y las transformaciones conformes son las que conservan ángulos.
Puedo ver cómo se superponen las nociones y tengo una vaga intuición sobre cómo son diferentes, pero tengo problemas para aclarar su distinción exacta, específicamente en el contexto del cálculo diferencial / vectorial con respecto a conceptos como el jacobiano y sus propiedades de conservación de áreas. , ecuaciones diferenciales para trayectorias ortogonales, transformadas integrales, etc.
O en términos más directos, ¿cuándo es algo ortogonal pero no conforme, y viceversa, y cuándo son ambos?
Respuestas
Un mapa lineal conforme es la composición de una homotecia (estiramiento) y un mapa lineal ortogonal.
La parte más importante de la intuición es la siguiente: las transformaciones ortogonales especiales son rotaciones. Las transformaciones ortogonales son rotaciones más reflejos. Las transformaciones conformales son rotaciones más dilataciones. Las transformaciones conformales y anticonformales son rotaciones más dilataciones más reflejos.
Matemáticamente hablando, esto significa: Las transformaciones ortogonales conservan el producto escalar. Las transformaciones ortogonales especiales también conservan la orientación (determinante positivo). Las transformaciones conformales y anticonformales preservan los ángulos. Las transformaciones conformales también conservan la orientación (determinante positivo). Más precisamente, transformaciones ortogonales$T$ satisfacer
$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$
mientras que las transformaciones ortogonales especiales satisfacen adicionalmente
$$\det T>0.$$
Incluso se puede demostrar que las transformaciones ortogonales ya satisfacen $\det T=\pm1$, haciendo $\det T=1$para transformaciones ortogonales especiales. Transformaciones conformales y anticonformales$S$ satisfacer
$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$
(para $v,w\neq0$) mientras que los mapas conformes también satisfacen $\det S>0$. Se puede demostrar que esto hace que las transformaciones (anti) conformales sean iguales a mapas ortogonales multiplicados por una constante distinta de cero. Las transformaciones (anti) conformales son, por tanto, transformaciones ortogonales con una dilatación adicional. Si llamamos a los diversos grupos que contienen estas transformaciones$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ortogonal y ortogonal especial), $\operatorname{CO}$ (conforme más anticonformal), y $\operatorname{CSO}$ (simplemente conforme), entonces tenemos las siguientes relaciones:
$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$
dónde $I$ es el grupo de dilataciones.