¿La convexidad estricta más la afinidad asintótica implican una media acotada?
No estoy seguro de si esto es exactamente a nivel de investigación, pero estoy luchando por encontrar una prueba para la siguiente afirmación:
Dejar $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ ser un $C^2$ función estrictamente convexa.
Dejar $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ satisfacer $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ y supongamos que $c_n \to c>c_0$.
Conjunto $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $y supongamos que $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
Pregunta: Debe$b_n$ estar acotado?
Tengo una prueba bastante simple (que presento a continuación) para el caso especial donde $a_n=a,c_n=c$ son secuencias constantes, pero tengo problemas para generalizarlo.
La prueba del caso simplificado:
Tenemos $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.
Dado $x \ge r$, dejar $\lambda(x) \in [0,1]$ ser el número único satisfactorio $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ Tenemos $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Definir$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$
La estricta convexidad de $F$ implica que $g$ es una función estrictamente creciente de $x$.
La suposición $D_n \to 0$ es equivalente a $g(b_n) \to F(c)$. Ya que$g(b_n) \ge F(c)$ (por convexidad) y $g$ es estrictamente creciente, llegamos a la conclusión de que $b_n$ debe estar acotado.
Respuestas
Si, $b_n$debe estar acotado. Supongamos lo contrario. Pasando a una subsecuencia podemos suponer que$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. Tenemos$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ y usando $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ obtenemos $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ así $\liminf D_n>0$.