La declaración condicional contradice la tabla de verdad
He pasado todo el día leyendo SE y otros sitios tratando de entender esto, pero tengo problemas.
La declaración condicional: si eres un guitarrista, entonces eres un músico. a → b
\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline a & b & a → b \\ \ hline T & T & T \\ \ hline T & F & F \\ \ hline F & T & T \ \ \ hline F & F & T \\ \ hline \ end {matriz}
Forma si-entonces: si eres guitarrista, entonces eres músico. Es cierto que los guitarristas son músicos.
Converse : Si eres músico, entonces eres guitarrista. Falso, no todos los músicos tocan la guitarra.
Inverso : si no eres guitarrista, entonces no eres músico. Falso, incluso si no tocas la guitarra, aún puedes ser músico.
Contrapositivo : Si no eres músico, entonces no eres guitarrista. Es cierto, una persona que no es músico no puede ser guitarrista.
Mirando la tabla de verdad de arriba, la última fila muestra que F, F = T. La declaración inversa también dice esto, pero allí es falso, mientras que en la tabla de verdad es verdadero. La declaración inversa tampoco parece estar de acuerdo con la tabla de verdad.
Entiendo que lo inverso es b → a y lo inverso es ~ a → ~ b y el contrapositivo es ~ b → ~ a
Lo que no entiendo es esto (disculpas por mostrar un ejemplo diferente) Si está lloviendo, hay nubes en el cielo a = Lloviendo, b = Nubes
Contrapositivo: si no hay nubes en el cielo, entonces no está lloviendo. (Entiendo que esto es lógicamente equivalente a la declaración condicional)
No entiendo cuál es el uso de la tabla de verdad. Es útil para mostrar que si llueve, está nublado y que no puede llover y luego no hay nubes. Pero en estos dos ejemplos se le da si "a" es verdadero o falso y luego si "b" es verdadero o falso. ¿Qué sucede cuando se te dice como en el contrapositivo que "b" es falso y "a" es falso (esto es en el orden opuesto, dado "b" primero y luego "a")? ¿Todavía puedes mirar la tabla de verdad, mirar la última fila y decir que la declaración condicional es Verdadera en general?
Lo que realmente me ha confundido también es que, lógicamente, si sé que está lloviendo, entonces debería haber nubes, pero también sé que solo porque hay nubes no necesariamente significa que estará lloviendo. Esto es lo mismo que decir que todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados. No veo dónde está esto en la tabla de la verdad.
Lo siento de nuevo por toda mi confusión, probablemente estoy haciendo esto más confuso de lo que es, pero necesito una explicación paso a paso.
Gracias por su tiempo y respuestas.
Respuestas
Aquí está la tabla completa.$$\def\T{\mathsf T}\def\F{\color{blue}{\mathsf F}} \begin{array}{|c:c|c:c|c:c|}\hline a& b & a\to b & \neg b\to\neg a& b\to a&\neg a\to\neg b \\\hline\T & \T & \T & \T & \T & \T \\ \hdashline\T & \F & \F & \F & \T & \T \\ \hdashline\F & \T & \T & \T & \F & \F \\ \hdashline\F & \F & \T & \T & \T & \T \\ \hline \raise{0.5ex}\tiny\text{guitar player}&\small\text{musician}&\text{position}&\tiny\raise{1ex}\text{contraposition}&\text{converse}&\text{inverse}\\ \hline\end{array}$$
Esto muestra que en todas las interpretaciones donde$a\to b$ se valora $\T$, luego $\neg b\to\neg a$ también se valora $\T$. Así decimos$a\to b$ implica $\neg b\to\neg a$. Igualmente$a\to b$ está implicado por $\neg b\to\neg a$.
Mirando la tabla de verdad de arriba, la última fila muestra que F, F = T. La declaración inversa también dice esto, pero allí es falso, mientras que en la tabla de verdad es verdadero. La declaración inversa tampoco parece estar de acuerdo con la tabla de verdad.
No, las cuatro afirmaciones son verdaderas en la interpretación de$a=\F$ y $b=\F$, porque $\F\to\F$ y $\neg\F\to\neg\F$ Ambos se valoran como verdaderos.
Converse: Si eres músico, entonces eres guitarrista. Falso, no todos los músicos tocan la guitarra.
Ahora, sostiene que $b\to a$no está implicado por$a\to b$.
Eso no quiere decir que$b\to a$se valora como falso en todas las interpretaciones donde$a\to b$se valora como verdadero. Solo significa que puede ser falso en alguna interpretación donde eso sucede (y esto es así).
Además, parece estar leyendo estos enunciados como predicados cuantificados universalmente en lugar de enunciados proposicionales .