La distribución normal condicional [duplicado]

Question

Me gustaría encontrar la distribución normal bivariada condicional. Hay dos variables normales dependientes con la misma distribución y el coeficiente de correlación$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Me gustaría conseguir$P(X|Y>M)$.

Encontré la expectativa condicional de $X$ dado que $Y$ es mayor que $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Pero, ¿cuál es la varianza condicional de $var(X|Y>M)$? Lo es$(1-\rho^2)\sigma^2 $, como sería en el caso de $var(X|Y=M)$, donde la varianza no depende de $M$?

Y es la distribución condicional $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

La varianza condicional depende de $M$.

No puedo encontrar una forma cerrada para la varianza condicional, pero puedo encontrar una forma cerrada para la densidad. Lo encontré comenzando con la función de distribución acumulativa condicional usando la definición de probabilidad condicional, luego diferenciada para encontrar la densidad condicional.

La densidad usando el formulario de entrada de Mathematica es:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Tu fórmula para la media condicional es correcta.

Sé que la varianza condicional depende de $M$ porque lo calculé por integración numérica.