¿La norma 2 de una matriz está limitada por el máximo de su norma 1 y la norma infinita?

Jan 01 2021

Estoy implementando el algoritmo en "Aproximación del logaritmo de una matriz a precisión especificada" por Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001.

En este algoritmo, evitaría calcular la norma 2 de una matriz cuadrada de valor real $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Los experimentos numéricos me sugieren que el siguiente límite superior se mantiene

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

¿Alguien puede confirmar si esta desigualdad siempre se cumple? ¡Gracias y feliz año nuevo!

Un usuario comentó que Cauchy-Schwarz implica

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

que en algunos casos mejora el límite, pero no siempre. Así que espero que mi pregunta inicial siga siendo relevante. También se agradecería un ejemplo contrario a la desigualdad sugerida, si existe.

Respuestas

datahaki Jan 01 2021 at 08:43

En efecto:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

sigue desde

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

que, según Wikipedia , es un caso especial de desigualdad de Hölder.