La unión de bolas es convexa

Question

Dado $X \subset \mathbb{R}^n$ y $\varepsilon > 0$, Dejar $B(X;\varepsilon)$ ser la unión de $B(x;\varepsilon)$ (bolas con centro en $x \in X$ y radio $\varepsilon$).

Demuestre que si X es convexo, entonces $B(X;\varepsilon)$ es convexo.

Veo que si dos elementos $x,y$ están dentro de la misma bola, entonces tengo el segmento de línea que conecta $x$ y $y$ todo dentro de esa bola, porque todas las bolas dentro $\mathbb{R}^n$ son convexas.

Pero no sé cómo proceder si no están dentro de la misma bola.

¿Algun consejo?

Answer 1

Dejar $x,y\in B(X,\epsilon)$. Por definición hay$x_0,y_0\in X$ tal que $||x-x_0||<\epsilon$ y $||y-y_0||<\epsilon$. Ahora deja$t\in (0,1)$. Tenemos que demostrar que el punto$(1-t)x+ty$ es en $B(X,\epsilon)$también. Ahora, desde$X$ es convexo sabemos que $(1-t)x_0+ty_0\in X$. También:

$||((1-t)x+ty)-((1-t)x_0+ty_0)||=||(1-t)(x-x_0)+t(y-y_0)||\leq $

$\leq(1-t)||x-x_0||+t||y-y_0||<(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon$

Entonces $(1-t)x+ty\in B((1-t)x_0+ty_0,\epsilon)\subseteq B(X,\epsilon)$.

Answer 2

De hecho tu $B(X,\varepsilon)$es la adición de Minkowski $X \oplus B(0,\varepsilon)$ de los conjuntos convexos $X$ y $B(0,\varepsilon)$ (bola centrada en $0$ con radio $\varepsilon$).

En este contexto, la respuesta es inmediata: hay un teorema clásico (dado en la referencia de Wikipedia) que dice que la adición de Minkowski de 2 conjuntos convexos es en sí misma convexa.