¿La versión hereditaria de esta noción de finitud débil no es trivial?
Di que un set $X$ es $\Pi^1_1$-pseudofinite si cada oración de primer orden $\varphi$ con un modelo con conjunto subyacente $X$tiene un modelo finito. La existencia de infinito$\Pi^1_1$-seudofinita es consistente con $\mathsf{ZF}$, ya que de hecho todo conjunto amorfo es$\Pi^1_1$-pseudofinita .
Quizás sorprendentemente, no está inmediatamente claro si la clase de$\Pi^1_1$Los conjuntos de pseudofinita deben cerrarse bajo uniones finitas. Mi pregunta es qué sucede cuando arreglamos esta debilidad por fuerza bruta:
¿Es consistente con $\mathsf{ZF}$que hay un infinito hereditariamente $\Pi^1_1$-seudofinito conjunto - es decir, un conjunto infinito $X$ tal que siempre que $Y$ es $\Pi^1_1$-pseudofinita, $X\cup Y$ es también $\Pi^1_1$-pseudofinita?
Tenga en cuenta que la herencia $\Pi^1_1$-Los conjuntos pseudofinitos están cerrados bajo uniones finitas, por lo que esto realmente "arregla" la situación anterior. Una esperanza natural es que los conjuntos amorfos vuelvan a funcionar, pero no veo cómo; ciertamente, el argumento vinculado anteriormente no es suficiente. (Por supuesto, hay nociones de finitud más estrictas que amorfo, por ejemplo, "en cualquier partición en un número infinito de piezas, todas, excepto un número finito de esas piezas, son singletons", pero que yo sepa, es mucho más complicado trabajar con ellas, por lo que sería Sería muy amable si no tuviéramos que ir allí.)
Respuestas
Si he entendido correctamente, es ciertamente coherente que hay infinitos heredados $\Pi_1^1$-conjuntos de pseudofinita. Es consistente que la clase de$\Pi_1^1$-Se cierra conjuntos pseudofinitos bajo uniones finitas. Solo diré "pseudofinita" en lugar de "$\Pi_1^1$-pseudofinite "para el resto de esta publicación.
Teorema. Dejar$N$ ser un modelo de ZF-Foundation con un conjunto infinito $A\in N$ satisfactorio:
- $A$ es pseudofinita
- Pequeñas violaciones de elección con $A^{<\omega}$: para todos $X$ hay un ordinal $\alpha$ y una sobreyección $A^{<\omega}\times\alpha\to X.$
En $N,$la clase de conjuntos pseudofinitos está cerrada bajo uniones finitas. En particular,$A$ es hereditariamente $\Pi_1^1$-pseudofinita.
Estas hipótesis se mantienen en el modelo básico de Fraenkel, con $A$siendo el conjunto de átomos. 1 aguanta porque$A$ es amorfo, y 2 se cumple porque dado $X$ bien podemos ordenar todo $G$-supervisiones fijas de la forma $A^n\to \{gx:g\in G\}$ con $x\in X,$ dónde $G$ es el grupo de simetría, para dar una sobreyección $A^{<\omega}\times\alpha\to \{gx:g\in G, x\in X\}\supseteq X.$ Entonces ese modelo tiene un infinito hereditario $\Pi_1^1$-conjunto de pseudofinita.
Como preguntaste sobre ZF, la declaración "si $x$ y $y$ son pseudofinitas, entonces también lo es $x\cup y$"es inyectable delimitable en el sentido de [1]. Un conjunto de pseudofinitas no puede admitir una inyección de $\omega,$ porque esto le permitiría interpretar $(\omega,<).$Por lo tanto, debería estar bien considerar los modelos de Fraenkel-Mostowski. Estoy bastante seguro de que también puedes usar el primer modelo de Cohen.
El teorema se deducirá de la equivalencia de estas condiciones para conjuntos no vacíos $X\in N$:
- $X$ es pseudofinita
- Hay una sobreyeccion $\coprod_{i\in \alpha} A^{p_i}\to X$ para algunos $\alpha\in\omega$ y $p\in\omega^\alpha.$
- Hay una sobreyeccion $A^n\to X$ para algunos $n$.
1⇒2 : Por las pequeñas violaciones del axioma de elección, hay una sobreyección$f:A^{<\omega}\times \alpha\to X.$
La secuencia $\beta\mapsto f(A^{<\omega}\times\beta)$ es una secuencia no decreciente bien ordenada en $2^X.$ Si esta secuencia es infinita, entonces podemos restringir a una función estrictamente creciente $g:\omega\to 2^X.$ Esto da una sobreyeccion $X\to\omega$ definido por $x\mapsto \min\{n:x\in g(n)\}.$ (Alternativamente, por un teorema de Kuratowski hay una inyección $\omega\to 2^X$ si hay una sobreyeccion $X\to\omega.$) Esto permitiría $X$ interpretar la teoría no pseudofinita $(\omega,<).$ Entonces podemos asumir $\alpha<\omega.$
Del mismo modo, la secuencia $k\mapsto f(A^{\leq k}\times \alpha)$ es una secuencia no decreciente bien ordenada por lo que debe estabilizarse en algún finito $k.$ Entonces $f$ se restringe a una sobreyección $A^{\leq k}\times \alpha\to X.$ Después de volver a indexar, esto tiene la forma requerida.
2⇒3 : conjunto$n=2\alpha+\max p_i$ y codificar $i$ usando la relación de igualdad en el primer $2\alpha$ variables
3⇒1 : Se nos da una sobreyección$f:A^n\to X$ y una estructura de primer orden $\mathcal X$ en $X,$ y quiero demostrar que cada teorema $\phi$ de $\mathcal X$tiene un modelo finito. Reemplazando cualquier operación por sus gráficas podemos asumir que$\phi$no utiliza operaciones. También podemos asumir$\phi$no usa la igualdad lógica, agregando una nueva relación para la igualdad. Cada relación$R\subseteq X^{a_R}$ se puede volver a una relación $\hat{R}\subseteq (A^n)^{a_R}=A^{na_R}$ por $$\hat{R}(x_{0,0},\dots,x_{a_R-1,n-1})\iff R(f(x_{0,0},\dots,x_{0,n-1}),\dots,f(x_{a_R-1,0},\dots,x_{a_R-1,n-1}))$$ dando una interpretación de $\mathcal X$ en una teoría de primer orden $\hat{\mathcal X}$ definido en $A.$ La frase $\phi$ es un teorema de $\hat{\mathcal X},$ por lo que debe tener un modelo finito.
[1]: David Pincus, Resultados de consistencia de Zermelo-Fraenkel por métodos Fraenkel-Mostowski, The Journal of Symbolic Logic, vol. 37, núm. 4 (diciembre de 1972), págs. 721-743