Lema para probar la existencia de infinitos números primos

Aug 18 2020

Este problema es de la Introducción a las estructuras y demostraciones matemáticas de Gerstein . La parte b del problema consiste en dar un tipo particular de prueba de que hay infinitos números primos. Me interesa la parte a, el lema requerido. La parte a se indica:

Demuestra que si $n \ge 3$ entonces hay un número primo p que satisface $n \lt p \le n!-1$.

Hay una pista:

"Considere un divisor primo p de $(n-1)!-1$. ¿Por qué existe p? "

Aquí está mi intento de solución:

p existe porque todo entero tiene un divisor primo. Para el k-ésimo primo$p_k$, definir

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ dónde $p_i$ es el i-ésimo primo.

El símbolo p denota un divisor primo de $(n-1)!-1$. Mi conjetura es que$p!!+1$es primordial. Solo tenemos que demostrar que está en el rango requerido.

Es razonable (aunque no lo he probado) suponer que $p!!+1 > n$.

$p!!$es el producto de menos de n enteros, cada uno de los cuales es menor o igual ap, que es igual o menor que n. Entonces$p!!+1\le n!-1$ y la supuesta prueba, tal como es, estaría completa.

¿Tiene algún mérito este argumento? Si no es así, ¿cómo se puede demostrar la proposición?

Respuestas

2 BrianM.Scott Aug 18 2020 at 09:46

$13!!+1=30031=59\cdot509$ no es primo, por lo que el argumento no puede funcionar.

Sin embargo, es ciertamente cierto que $n!-1$ tiene un divisor primo $p$y claramente $p\le n!-1$, entonces solo necesitamos mostrar que $p>n$. Ya que$p\mid n!-1$, claramente $p\not\mid n!$; pero cada entero positivo$\le n$ divide $n!$, entonces $p$ no puede ser $\le n$. Por lo tanto, debemos tener$n<p\le n!-1$.