Limitado en valor singular
Dejar$M \in \mathbb{R}^{d\times d}$Sea una matriz antisimétrica. ¿Existe un límite inferior/superior o una igualdad que relacione las dos cantidades?$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$El lado derecho es el cuadrado del menor valor singular de$A$. También fíjate que$u^* A u$debe ser puro imaginario mientras$u^* A^T A u$debe ser real
De hecho, el siguiente comentario de Stephen muestra que el lado izquierdo es cero. ¿Qué pasa con las matrices generales?$A$, no necesariamente antisimétrica?
Respuestas
Gracias Stephen por señalar la desigualdad de Cauchy-Scharz: tenemos$$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$para vectores normales$u$y matriz real$A$, por eso$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$para cualquier matriz real$A$. El lado izquierdo es cero para antisimétrico$A$.