Límite de error en el PNT bajo alguna suposición similar a RH

Aug 16 2020

En las notas de clase, hay un ejercicio con el que tengo problemas. Aquí,$\psi$denota la función de Chebychev . lo asumo$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$para algunos$0<\varepsilon<1/2$(que vendría de una versión menos fuerte de la hipótesis de Riemann, que es una región libre de ceros de la forma$\{\sigma>c\}$). Usando la suma por partes, escribí$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$lo que me permitió probar que$$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$

Ahora, en el resto del ejercicio, se me pide que demuestre que$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$para cualquier$\delta>0$(este es el sentido en el que$\text{Li}(x)$es una mejor aproximación a$\pi(x)$que simplemente$\frac{x}{\log(x)}$). ¿Cómo probar esto?

Si asumo lo contrario, es decir,$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$para algunos$\delta>0$, entonces no tengo idea de qué contradicción se supone que debo obtener.

Probé las desigualdades clásicas:$$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$pero dudo que me lleve a alguna parte. ¿Alguien tiene alguna pista/idea? El ejercicio no da más que algunas trivias .

Respuestas

1 Gary Aug 16 2020 at 22:00

Con base en lo que demostraste, tenemos$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$Ahora, se puede demostrar, usando integración por partes, que$$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$Por lo tanto,$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$