Límites de la varianza de la suma de variables aleatorias dependientes
Dejar $x_1, \ldots, x_n$ser posiblemente variables aleatorias dependientes , cada una tomando valores$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Suponga además que en cada resultado el número de variables aleatorias que equivalen a 2 es exactamente 1. Ahora para$i \in \{1, \ldots, n\}$ definir $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ y deja $ f = \sum_i f_i. $
Mi pregunta es cuan grande puede ser la varianza de $f$¿ser? Mi conjetura es que deberíamos poder unirlo por$O(1)$ pero no sé cómo probarlo.
Nota: En caso de que ayude, es fácil demostrar que $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ donde la última igualdad proviene de nuestra suposición inicial de que en todos los resultados exactamente uno de los $x_i$es igual a 2.
Respuestas
$Var\,f$ puede ser del orden de $n$ (pero no más que eso).
De hecho, deja $U$ y $N$ ser variables aleatorias independientes tales que $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ y $P(N=i)=1/n$ para todos $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. Dejar$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Entonces con $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (como $n\to\infty$).
Por otra parte, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$
Detalles sobre (1): Tenemos $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ y $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ para $i\ne j$. Eligiendo ahora$p=1/n$, tenemos
$$Ef^2\sim n/4.$$ Ya que $Ef=1$, (1) sigue ahora.
Mirando hacia atrás en (2), ahora la idea detrás de la construcción debería volverse transparente: queremos hacer $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ para $i\ne j$ mucho mayor que $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ y al mismo tiempo no hacer $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$demasiado pequeña. La elección$p=1/n$ es casi óptimo en este sentido.