Los espacios sólidos se pueden contraer localmente
Tengo una pregunta mientras leo The Topology of Fiber Bundles , de Steenrod , sección 12.
Un espacio $Y$se llama sólido si, para cualquier espacio normal$X$, subconjunto cerrado $A$ de $X$y mapa $f:A\to Y$, existe un mapa $f':X\to Y$ tal que $f'|_A=f$.
Dejar $Y$ ser sólido tal que $Y\times I$es normal. Fijar un punto$y_0\in Y$. Tenga en cuenta que$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ es un subconjunto cerrado de $Y\times I$. Definir$f:A\to Y$ por $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ y $f(y_0,t)=y_0$. Entonces solidez de$Y$ implica que $f$ se extiende a $f':Y\times I\to Y$. Ahora$f'$ es una homotopía de $\textrm{id}_Y$ al mapa constante $Y\to y_0$. Así$Y$es contráctil. Ya que$y_0$ es arbitrario, también se sigue que $Y$ es localmente contractible.
No puedo ver porque $Y$es localmente contractible. ¿Cómo muestra este argumento que cada punto de$Y$ ¿Tiene pequeños vecindarios arbitrarios localmente contractibles?
Respuestas
Una notación más común para un espacio sólido es "extensor absoluto para espacios normales".
Tu construcción de $f'$ muestra que $(Y,y_0)$es puntiagudo contráctil para cada$y_0 \in Y$. Esto implica inmediatamente que
Por cada barrio abierto $U$ de $y_0$ en $Y$ existe un barrio abierto $V$ de $y_0$ en $Y$ contenida en $U% $ tal que la inclusión $V \hookrightarrow U$ es nulo-homotópico.
Si esta propiedad está satisfecha, $Y$se llama localmente contractible en$y_0$. Si$Y$es localmente contractible en todos sus puntos, se denomina localmente contractible .
Ésta es la definición estándar. El requisito de que cada$y_0 \in Y$tiene barrios contráctiles arbitrariamente pequeños (abiertos) es más fuerte y dudo que eso sea cierto para todos los extensores absolutos. Debería comprobar la definición de Steenrod.
Ver también ANR se puede contratar localmente .