Los simplectomorfismos conservan las ecuaciones hamiltonianas
Dejar$(M_1,\omega_1)$,$(M_2,\omega_2)$sean variedades simplécticas y sean$\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$sea un simplectomorfismo. Considere un hamiltoniano$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$. Demuestre que una curva$t\mapsto \gamma(t)\in M_1$resuelve la ecuación de Hamilton para$\tilde{H}:=H\circ\psi$ $\iff$La curva$t\mapsto \psi\circ\gamma(t)\in M_2$los resuelve por$H$.
Será estupendo si se obtiene como corolario del hecho de que$X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H)$.
Gracias
Respuestas
Mi intento.
Proposición 1
Sea$(M_1,\omega_1)$,$(M_2,\omega_2)$sean variedades simplécticas y sean$\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$sea un simplectomorfismo. Deja, además$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$ser un hamiltoniano, con campo vectorial hamiltoniano$X_H\in\Gamma(TM_2)$.
Después$\psi^*(X_H)$es el campo vectorial hamiltoniano frente al hamiltoniano$\tilde{H}:=H\circ\psi\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$, es decir \begin{ecuación} \label{ciao} X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H). \end{ecuación}
prueba \begin{ecuación*} d(H\circ\psi)=d(\psi^*H)=\psi^*dH=-\psi^*\left(i_{X_H}\omega_2\right)=- i_{\psi^*X_H}\psi^*\omega_2=-i_{\psi^*X_H}\omega_1, \end{ecuación*} entonces$\psi^*X_H$es el único campo vectorial hamiltoniano wrt$H\circ\psi$.
Corolario 1
$X_{H\circ\psi}$y$X_H$son$\psi$-relacionado
prueba
Podemos explicitar la conclusión de la Proposición 1, lo que significa que$\forall p\in M_1$,$\forall h\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$ \begin{ecuación} \label{campos vectoriales hamiltonianos de correlación expandida} (X_{H\circ\psi})_p(h)=(\psi^*X_H)_p(h)=:(X_H)_{\psi( p)}(h\circ\psi^{-1}), \end{equation} donde hemos desarrollado el pull-back de campos vectoriales a través de difeomorfismos. Ahora, toma cualquier$p\in M_1$y$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, entonces \begin{ecuación} \label{primeros campos vectoriales relacionados} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right](g)=(X_{H\circ\psi} )_p(g\circ\psi); \end{ecuación} aplica la primera ecuación con$h:=g\circ \psi$, entonces tenemos \begin{ecuación*} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right](g)=(X_H)_{\psi(p)}(g\ circ\psi\circ\psi^{-1})=(X_H)_{\psi(p)}(g). \end{ecuación*} Dado que esto es válido para cada$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, concluimos que \begin{ecuación*} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right]=(X_H)_{\psi(p)}(g\circ\psi \circ\psi^{-1})=(X_H)_{\psi(p)}, \end{ecuación*} lo que significa exactamente eso$X_{H\circ\psi}$y$X_H$son$\psi$-relacionado.
Proposición 2
Sea$F:M\rightarrow N$Sea un mapa uniforme entre variedades y supongamos que$X\in\Gamma(TM)$,$Y\in\Gamma(TN)$son$F$-campos vectoriales relacionados. Después$F$toma curvas integrales de$X$a las curvas integrales de$Y$.
Prueba
Let$\gamma:\mathcal{I}\rightarrow M$Sea una curva integral de$X$, tenemos que demostrar que$\sigma:=F\circ\gamma$es una curva integral de$Y$: \begin{ecuación*} \dot{\sigma}(t)=\frac{d}{dt}(F\circ\gamma)(t)=T_{\gamma(t)}F(\dot{\ gamma}(t))=T_{\gamma(t)}F(X_{\gamma(t)})=Y_{F(\gamma(t))}=Y_{\sigma(t)}. \end{ecuación*}
Conclusión
Los simplectomorfismos conservan las ecuaciones de Hamilton.
prueba de
dejar$\psi$sea un simplectomorfismo, entonces, gracias al Corolario 1, vemos que los campos vectoriales hamiltonianos$X_{H\circ\psi}$y$X_H$están relacionados a través$\psi$. Además por la Proposición 2,$\psi$asigna curvas integrales a curvas integrales de$\psi$-campos vectoriales genéricos relacionados. Pero las curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos son soluciones de las ecuaciones de Hamilton y así$\psi$conserva las ecuaciones de Hamilton.
Dado que mencionó a Abraham-Marsden como fuente, aquí hay algunos comentarios que creo que encontrará beneficiosos (la notación es muy idéntica a cómo la usan). Aquí hay un "enfoque simplificado" (al menos en mi opinión) que está en el "nivel de mapeo" en lugar del "nivel puntual".
Espero que se dé cuenta de que la conclusión de la Proposición 1 se puede escribir como$\psi^*(X_H) = X_{\psi^*H}$, que por supuesto lo hace muy memorable. Del mismo modo, reemplazando$\psi$por$\psi^{-1}$, y utilizando el hecho de que$(\psi)_*:= (\psi^{-1})^*$(es decir, empujar hacia adelante es lo mismo que retroceder por inversa (por definición)), obtenemos$\psi_*(X_H) = X_{(\psi_*H)}$(claro que hay que redefinir donde se define todo)
Recuerda que si$F:M \to N$y$X$y$Y$son campos vectoriales en$M$y$N$respectivamente, entonces decimos$X$y$Y$son$F$-relacionado si$TF \circ X = Y \circ F$, y escribimos$X\sim_F Y$; es decir, el siguiente diagrama conmuta$\require{AMScd}$ \begin{CD} TM @>TF>> TN\\ @A{X}AA @AA{Y}A \\ M @>>F> N \end{CD} Finalmente, recuerde la definición de pull-back de un campo vectorial (esto requiere$F$ser un difeomorfismo):$F^*(Y):= TF^{-1}\circ Y \circ F$(y tenga en cuenta que$T(F^{-1}) = (TF)^{-1}$, así que simplemente escribiendo$TF^{-1}$no es ambiguo). Con esto, el corolario 1 es simple de probar: \begin{align} T\psi \circ X_{\psi^*H} &= T\psi \circ (\psi^*X_H) \tag{por proposición$1$} \\ &= T\psi \circ (T\psi^{-1}\circ X_H \circ \psi) \tag{por definición} \\ &= X_H \circ \psi \end{align} Esto dice exactamente que$X_{\psi^*H} \sim_{\psi}X_H$que los dos campos vectoriales son$\psi$-relacionado.
Podemos reescribir la prueba de la Proposición$2$como sigue: \begin{align} (F\circ \gamma)' &= TF \circ \gamma' \\ &= TF \circ (X\circ \gamma) \\ &= (Y\circ F) \circ \gamma \tag{desde$X\sim_F Y$} \\ &= Y \circ (F\circ \gamma) \end{align} Esto dice exactamente eso$F\circ \gamma$es una curva integral de$Y$. Aquí, uso$\gamma'$donde usas$\dot{\gamma}$; esta es una curva en el paquete tangente$I\subset \Bbb{R}\to TM$