$\mathbb R$ con la topología generada por $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ es pseudocompacto
Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta de los conjuntos de problemas de preparación de UChicago GRE :
Dotar $\mathbb R$ con la topología correcta, generada por $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ y llama a este espacio $X$. ¿Cuál de los siguientes es falso?
(...)
(MI) $X$ es pseudocompacto (toda función continua $f: X \to \mathbb R$ está ligado)
Según la clave de respuesta (E) no es falsa. No he oído hablar del término pseudocompacta antes, pero estoy tratando de resolver las cosas a partir de la definición. Si entiendo correctamente, la topología$\mathcal O_\tau$ generado por la base $\tau$ es $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. La propiedad básica de las funciones continuas es que la imagen previa de cada conjunto abierto está abierta. Usando solo esto, ¿cómo mostramos eso?$f: X \to \mathbb R$ ¿está ligado?
Respuestas
Pista :$X$tiene una propiedad aún más fuerte: cada función continua de valor real (de hecho, cada función continua con valores en un espacio de Hausdorff) es constante. Esto se sigue del hecho de que cada dos subconjuntos abiertos no vacíos de$X$ intersecarse.
Suponer $f:X \to \Bbb R$ es continuo, y supongamos $f$no fueron constantes. Esto significa que hay$x_1 \neq x_2 \in X$ con $f(x_1) \neq f(x_2)$. Suponga (WLOG) que$f(x_1) < f(x_2)$ entonces busca $c\in \Bbb R$ con $f(x_1) < c < f(x_2)$. Entonces$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ está abierto y $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ también está abierto (tanto por la continuidad de $f$) y $O_1$ y $O_2$ son, por tanto, no vacíos abiertos y disjuntos en $X$. Sin embargo, esto nunca sucede ya que se establece en$X$ por definición son siempre de la forma $(a, +\infty)$ y dos de estos se cruzan (cualquier punto más grande que el máximo de sus puntos límite está en la intersección).
Así que cualquier valor real continuo $f$ en $X$ es constante (tan seguramente acotado), por lo tanto $X$ es pseudocompacto.