Mathematica genera una integral trigonométrica ($\sec^3$) en una forma que no puedo probar

Aug 16 2020

La integral indefinida es, por supuesto$1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica da:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

los$1/2 \sec(x) \tan(x)$está ahí, pero he pasado un par de horas tratando de probar que el logaritmo de Mathematica realmente es$\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, y simplemente no puedo hacerlo! los$x/2$los medios ángulos arrojan una llave inglesa en las obras para mí. Simplemente me parecen tan erróneos, es como la fórmula del medio ángulo al revés. Obtengo raíces cuadradas donde me gustaría ver cuadrados.

Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo obvio, ¡pero simplemente no puedo verlo!

Respuestas

4 flinty Aug 15 2020 at 22:13

Diferencie, combine los logaritmos y trabaje hacia atrás usando las fórmulas de medio ángulo y la identidad$1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Puede llegar usted mismo si primero muestra:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Para obtener el resultado anterior, observe lo que sucede cuando lo pone todo sobre un denominador común:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

El numerador es obviamente 1 por la identidad$\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$y el denominador es$\cos(x)$por medios ángulos. Para ver esto, expande el denominador$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$Llegar$d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Entonces tenemos$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$y$1/d$es$\sec(x)$

... y en cuanto al resto de la derivada:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Asi que, por lo tanto:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)