Mayor entero menor o igual que $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
Esta es una pregunta de ingreso al doctorado de TIFR 2020. La pregunta requiere una respuesta explícita. Sé que las sumas parciales se evalúan utilizando la fórmula de Abel en la teoría de números, pero creo que puede haber mejores métodos para series de esta forma. ¿Alguien puede compartir sus pensamientos?
Respuestas
Compare la suma con las integrales definidas apropiadas:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
También:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
Entonces, la suma está entre $1332$ y $1333$ y entonces su parte integral es $1332$.
Sugerencia: considere la función$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ y utilizar el teorema del valor medio para deducir que $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ Displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Ahora puede sumar y utilizar el hecho de que casi todo se verá telescópico.
Aquí hay otra forma de considerar la apestosa respuesta de los obispos. Esta es una respuesta derivada y exactamente la misma que la de Stinking Bishop. Solo entrecerro los ojos y lo miro desde un ángulo diferente.
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
Ahora $\int_a^b C dx = C[b-a]$ entonces $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ y $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ entonces
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Como se ha señalado $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
Pero también tenga en cuenta
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ puede volver a indexarse como $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ que es igual a $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.
Entonces tenemos
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Y se verifica fácilmente que si $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ luego $M< n+1 \le M+1$ y entonces $n\le M< n+1$ entonces $\lfloor M\rfloor=n$.
Entonces $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.