Medida de riesgo convexo de varianza

Question

Espero que me puedan ayudar con esta pregunta con la que realmente lucho. ¿Es la varianza una medida de riesgo convexa? Supongo que no, pero me resulta muy difícil encontrar un contraejemplo.

Aquí están mis pensamientos. Traté de encontrar un ejemplo donde:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. Yo sé eso$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Ahora, si la correlación es máxima, en cuyo caso$corr(X,Y)=1$después:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Pero todavía no puedo encontrar ningún ejemplo donde esto sea mayor que$\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

¿Puedes darme alguna pista? Lo aprecio mucho.

Answer 1

Consideremos su caso de correlación máxima. Estás tratando de encontrar valores tales que

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

o

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

o

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

o

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

o

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

lo que claramente nunca es cierto para ninguna$0\leq\lambda\leq 1.$Debido a que LHS es mayor en el caso de correlación máxima:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

y la varianza es una medida de riesgo convexa.