Mejor demostración de una desigualdad numérica de$e^x$

Question

la desigualdad es

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Lo probé dividiéndolo en 3 casos:$-3<z<0$,$z=0$y$0<z<3$.

Para$z=0$, ambos lados son iguales.

Los otros 2 casos están hechos con cálculo. Definir$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$y luego reemplazar$|x|$por$x$o$-x$respectivamente. Entonces solo revisa las derivadas.

Pero en mi opinión, es una especie de fuerza bruta, por lo que me pregunto si hay una forma más rápida (más inteligente) de mostrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que, si$|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}