Método de calor (Crane et al) ¿Cómo te elegimos?
El método del calor es un artículo muy interesante para el cálculo de distancias:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
La idea detrás del artículo es que el calor viaja a lo largo de la superficie de un objeto esencialmente de forma geodésica. Y así, el tiempo que tarda el calor en viajar desde un punto caliente a cualquier punto de una superficie está irreconciliablemente correlacionado con la distancia geodésica.
El documento primero considera el caso analítico general y luego sugiere enfoques de discretización. Lo que estoy muy confundido es la mención de la función de flujo de calor.$u$a través del papel. Considere esta ecuación por ejemplo:
Ese es el operador discreto laplaciano aplicado a$u$o$\Delta u$. Hay muchas otras secciones en el documento que mencionan$u$. De mi lectura,$u$parece ser una función adecuada que aproxima el flujo de calor en la superficie de una variedad?
Realmente no veo una ecuación de la forma$u = \text{expression}$tampoco veo descripciones de sus propiedades ni sugerencias para un buen$u$función. Que es$u$? donde fue$u$¿viene de? donde fue$u$¿Vamos? donde fue$u$¿viene de? cotán, yo, o?
Respuestas
Según mi lectura, u parece ser una función adecuada que aproxima el flujo de calor en la superficie de un colector.
$u$es la función que describe cómo se comporta/evoluciona tu cantidad en un determinado campo. En el papel, la cantidad es la temperatura o el flujo de calor, supongo. Sin embargo, la mayoría de las veces no existe una solución/fórmula analítica para$u$. Aquí es donde entran en juego métodos como los elementos finitos (FEM). Al discretizar su campo, puede aproximar por partes su función$u$.
En tu caso, usarías tu malla, que ya es una discretización de tu superficie. Sus elementos son los triángulos y necesita definir cómo se interpolan las cantidades nodales dentro de cada triángulo. --- Aquí, la interpolación lineal es probablemente el camino a seguir. De lo contrario, debe volver a mallar su geometría o introducir nodos adicionales para aproximaciones de orden superior.
Luego hay que asignar a cada Nodo/Vértice un valor inicial$u_0$como está escrito en la respuesta de gilgamec. Luego, construyes y resuelves tu sistema de elementos finitos y obtienes la distribución nodal de$u$que realmente resuelve su ecuación o sistema de ecuaciones. Cuanto más fina sea la malla, mejor será la solución. Las interpolaciones de orden superior también ayudarán con la precisión.
Asi que$u$o sus valores nodales son lo que realmente está buscando, como dijo lightxbulb en su comentario. Es su cantidad desconocida.
Si esto no ayuda, es posible que desee leer algo de literatura sobre el método de elementos finitos. No puedo decir cuán útiles son los siguientes enlaces, pero un breve vistazo parecía prometedor. Verás, que usan$u$por todo el lugar. Así que espero que uno de ellos te ayude:
- Una introducción suave al método de elementos finitos
- PE281 Método de elementos finitos Notas del curso
- Introducción al método de los elementos finitos
- análisis de elementos finitos a mano
También tenía un enlace a un buen tutorial en línea similar al último enlace que proporcioné que me ayudó mucho a comprender los fundamentos. Si encuentro el enlace, lo agregaré a mi respuesta.
Encontré el enlace al que me refería. Desafortunadamente, está en alemán:
- Manual FEM
si, el campo$u$es en este caso una difusión de calor aproximada a través de la superficie. Se encuentra comenzando con el "conjunto inicial" de vértices; estos serán la fuente de la difusión y terminarán como mínimos locales en el campo de distancia. Una distribución inicial$u_0$está configurado, con valor 1 en el conjunto inicial y 0 en cualquier otro lugar. (Esto se describe en la página 92 del documento que vinculó, inmediatamente debajo del Algoritmo 1).
El primer paso del algoritmo es ejecutar un solo paso de la ecuación del calor resolviendo la ecuación lineal$(I - t\nabla)u = u_0$(ecuación 3 en el artículo). El campo$u$obtiene allí es la difusión de calor aproximada que procesa más para obtener el campo de distancia.