Módulo de multiplicación que no es cíclico

Question

Según la definición de Barnard (1980), un módulo de multiplicación es un $R$-módulo $M$ en el que para todos los submódulos $N$, existe un ideal $I$ de $R$ tal que $N=IM$. Tenga en cuenta que un cíclico$R$-module (un módulo generado por un elemento), digamos $\langle m\rangle$ es un módulo de multiplicación ya que todos sus submódulos, digamos $N$, Se puede escribir como $Im=I(Rm)$ dónde $I=\langle r_i\ |\ r_im\in N\rangle$.

Mi pregunta es: ¿hay algún ejemplo de un módulo de multiplicación no cíclica? He probado algunos ejemplos como$M_{2\times1}(\mathbb Z)$ encima $M_{2\times2}(\mathbb Z)$, ya que pensé que no es cíclico sobre $\mathbb Z$, pero resulta que es cíclico sobre $M_{2\times2}(\mathbb Z)$. ¿Existe algún ejemplo básico de un módulo de multiplicación no cíclica? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Dos sencillos ejemplos:

(1) Un ideal invertible es un módulo de multiplicación. De hecho, si$I$ es invertible y $J \subseteq I$ luego $K = I^{-1}J \subseteq R$ es un ideal y $J = IK$. Esto apunta a cualquier dominio de Dedekind que no sea un PID como fuente de ideales multiplicativos que no son principales.

(2) Todo ideal generado por idempotentes es un módulo de multiplicación. Esto también es fácil de comprobar. Entonces, por ejemplo, en cualquier producto infinito de anillos$\prod R_\alpha$, el ideal generado por los vectores base estándar es un módulo multiplicativo que no es principal.