Momentos de número de divisores de intervalo restringido

Question

Anteriormente hice la pregunta Una suma de función divisor truncada donde la suma$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ fue de interés, y fue respondido satisfactoriamente.

Aquí, estoy interesado en estimar la siguiente cantidad $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ por lo que los divisores están restringidos en tamaño, o restringidos al intervalo $[1,m]$ no en `` número '' como en (1).

Cuándo $a=1,$ esto es sencillo (en cuanto a obtener el término principal), ya que la suma se puede evaluar horizontalmente $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ y normalmente estaría interesado en valores relativamente pequeños de $m$ en términos de $x$.

Qué pasa $a\neq 1$? En particular,$a=1/2,$ o $a=2,3,$ etc. ¿Cómo se pueden estimar esas sumas?

Answer 1

Asumimos $m\leq x$. Tu$S_1(x,m)$ es de hecho, $x\log m + O(m)$.

Esta respuesta encuentra una estimación de $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ dónde $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

Para encontrar una estimación de la primera suma, sea $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ dónde $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, nosotros escribimos $d_1=dk$, $d_2=dl$ con $(k,l)=1$. Para establecer$(k,l)=1$, usamos la identidad $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, dónde $\delta_1(n)=1$ Cuándo $n=1$, $0$de lo contrario. Luego$k=uv$, $l=uw$, así que eso $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Luego

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ Por eso, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

Podríamos obtener $S_a(x,m)$por el mismo método. Pero las sumas resultantes son más complicadas.