mostrar que los límites no existen (multivariable)

Question

Entonces mi profesor me da este problema

Demuestra que el límite no existe $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {xy^3\cos x}{2x^2+y^6}$$ Entonces lo que terminé haciendo es acercarme $(0,0)$ a lo largo de $x$-eje $$\lim_{x \to 0} \frac {0}{2x^2} = 0$$ y acercarse $(0,0)$ a lo largo de $y$-eje $$\lim_{y \to 0} \frac {0}{y^6} = 0.$$ Entonces me acerco al $(0,0)$ a lo largo $y = x$ eje $$\lim_{x \to 0} \frac {x^2\cos x}{2+x^4} = 0$$Entonces pensé que el límite existe, pero mi profesor insiste en que el límite no existe. Hice algo mal ?

Gracias.

* lo siento, escribí el problema incorrecto

Answer 1

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {xy^3\cos x}{2x^2+y^6}$$ Tratar $x=y^3$ $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {y^6\cos y^3}{3y^6}$$ $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\cos y^3}{3}=\dfrac 13 \ne 0$$ A lo largo del eje da cero para que el límite no exista.

Answer 2

Acercándose desde el $x$-eje (cuando $y=0$) tenemos $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos(x)}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)}{2}=\frac{1}{2}$$

y acercándose desde el $y$-eje (cuando $x=0$) da $$\lim_{y\rightarrow 0}\frac{0}{y^6}=0.$$

Por tanto, el límite no existe.

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A lo largo de la curva $y=x^{\frac{1}{3}}$ tenemos $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos(x)}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)}{3}=\frac{1}{3}.$$

Answer 3

Ya que $\cos x \to 1$ podemos considerar $ \frac {xy^3}{2x^2+y^6}$ e igualar los exponentes en el denominador por $x=u^3$ y $y=u$ obtenemos

$$ \frac {xy^3}{2x^2+y^6}= \frac {u^6}{3u^6} \to \frac13$$