Muestra esa $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ Se puede escribir como $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
He estado leyendo el siguiente enlace sobre la definición del Puente Browniano y encontré la siguiente declaración (viñeta 9 en el enlace de arriba):
Suponer $W_t$ es un movimiento browniano estándar, defina $X_1=1$, entonces para $h \in [0,1]$, el proceso $X_t$ es un puente browniano:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
De hecho, puedo entender la prueba de esta declaración presentada en el enlace anterior y no tengo ningún problema con la afirmación de que $X_t$arriba hay un puente browniano. Sin embargo, el autor continúa afirmando que:
"En forma diferencial, lo anterior se puede escribir como:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
De hecho, no puedo conectar la forma diferencial con la ecuación (1) dada para $X_t$.
Cuando reescribo la forma diferencial en la notación de "mano larga", obtengo ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Lo anterior claramente no es lo mismo que la definición anterior de $X_t$dado en la ecuación (1). Estoy pensando que podría haber alguna aplicación de lema de Ito para una función definida inteligentemente$F(X_t,t)$, que no he podido averiguar (he intentado jugar con variantes de $F(X_t,t):=X_te^t$, pero fue en vano).
¿Hay alguna manera de "resolver" la ecuación diferencial (2) en (1), o el autor ha cometido un error tipográfico?
Editar : después de leer la respuesta vinculada en el comentario a continuación, y en el espíritu de mi propia respuesta sobre la notación a otra pregunta aquí , he intentado reescribir la respuesta vinculada usando la notación de mano larga (porque me cuesta interpretar algunos de los pasos de la respuesta de notación abreviada):
Sigo recibiendo una respuesta incorrecta. ¿Podría ayudarme a detectar dónde me estoy equivocando? .
El "truco" en la respuesta vinculada parece estar aplicando el lema de Ito a una función $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. Los derivados son:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
También tenemos eso:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ de modo que:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Multiplicando por $1-t$ luego da:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Por lo tanto tenemos:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Centrándose en el término $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, podemos escribir:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Tenga en cuenta que el término en el corchete anterior, es decir $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$de hecho no es igual a$X_h$ (como se define en la ecuación (1)), entonces de hecho no tenemos eso:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Respuestas
Dejar $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Luego echa un vistazo a
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
y diferenciar usando el lema de It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
y, por tanto, hay un error tipográfico.
Si quieres resolver
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
luego (como en las EDO) use el factor de integración
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
para resolver SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
para la solución
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Nota de precaución: no debe aplicar el lema de It ^ o para resolver el SDE. Esto solo funciona en el caso de que admita una solución fuerte (cf. Oksendal, Capítulo 5).