Muestra esa ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Pregunta: Suponga$x $es un número entero no negativo. Definir${{m}\choose {x}}=0$ Si $x>m $. Dejar$\{p_n\}$ ser secuencia satisfactoria $0 <p_n <1$ y $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Muestra esa$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

¿Es esto equivalente a la prueba de la fórmula de distribución de Poisson? Estoy preguntando esto porque en la declaración de la fórmula de distribución de Poisson$np$ es constante pero aqui cuando $n\to\infty $ $np\to $algo constante$=\lambda $. También en la fórmula de distribución de Poisson$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ pero tenemos que probar por cualquier $n $no hay limites. Entonces, ¿la prueba del problema y la prueba de la fórmula de distribución de Poisson son las mismas?

Nota: No hay límite en la fórmula del problema. Tenemos que probar$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ no $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Ya que $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, obtenemos $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ y trata de demostrar que $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

El límite que ha escrito es el enunciado formal del teorema del límite de Poisson .

La versión que vio antes tiene una suposición un poco menos general (obliga a $np_n = \lambda$ para todos $n$, más bien que $np_n \to \lambda$). Las pruebas serán muy similares, pero probablemente tendrá que hacer algo más para la afirmación más general.

En ambas declaraciones, hay un límite como $n \to \infty$; No estoy seguro de lo que quiere decir con "tenemos que demostrar para cualquier$n$ no hay límites ".

Answer 3

Para fijo $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Como $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ entonces$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$