Muestra esa $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ es acotado, monótono y encuentra su límite
Pruebalo $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$es acotado y monótono. Entonces encuentra su límite.
Mi intento de acotar:
(Usando inducción) Para el caso base tenemos $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Suponga que la secuencia está limitada por$n = k$. Luego,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
Estoy desconcertado por el término $x_{n + 2}$ en la fórmula recursiva y no puedo ver el álgebra para producir los pasos anteriores sin obtener $x_{n + 2}$ en la expresión del límite superior / inferior.
Gracias.
Actualizar:
He agregado esto a la prueba:
Tenemos $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ y $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Suponga que la secuencia está limitada por$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
Por tanto, según el principio de inducción matemática, la secuencia está acotada.
¿Es esto válido?
Respuestas
Observa eso $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Podemos probar por inducción que$x_n <2$ para todos $n$. Suponga que la desigualdad es verdadera para$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Luego$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Ahora mostramos que la secuencia aumenta monótonamente. Suponer que$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ sostiene para algunos $n\geq 2$. Luego$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Así $x_n$está acotado desde arriba y es creciente, por lo que es convergente. Su límite$x$ debe satisfacer $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ es decir, debemos tener $x=2$.
No, tu argumento no es válido. Tu muestras eso
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
Si aplica inducción, esto conduce a
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ que no está acotado.
Pero puedes usar
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
Para la delimitación usamos la Inducción Fuerte, es trivial que la secuencia sea positiva. Queremos mostrar eso para todos$n \in \mathbb{N}$ tenemos $x_{n} < 2$
- Para k = 1 tenemos: $x_{1} = 0 < 2$
- Dejar $n \in \mathbb{N}$ y supongamos que para todos $k \leq n$ tenemos: $x_{k} < 2$
- Tenemos: $x_{n-1} < 2$ y $x_{n} < 2$
Luego: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
Por lo tanto: $x_{n+1} < 2$
Para la monotonía, usemos nuevamente la inducción para demostrar que para todos $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$
- Para n = 1, es evidente que $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ ya que $x_{1} = 0$
- Dejar $n \geq 2$ y supongamos que para todos $k \leq n$ tenemos: $x_{k+1} \geq x_{k}$
Tenemos: $x_{n} \geq x_{n-1}$ y $x_{n+1} \geq x_{n}$
Por lo tanto: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
Así: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
Concluimos que la secuencia está aumentando y por lo tanto es monótona, y dado que está acotada, la secuencia converge. Dejar$L$ ser el límite de la secuencia, entonces $L$ es la solución a la ecuación $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, que da eso $L = 2$