Múltiples soluciones para una EDO

Question

Quiero encontrar la solución al IVP: $$y' = 2\cos(x)\sqrt{y-1},\;\; y\geq1 $$ con condición inicial $y(0)=2$.

Usé la separación de variables para obtener la solución general. $$y =\left(\sin(x)+C\right)^2 +1.$$

Cuando uso la condición inicial para intentar encontrar una solución específica, obtengo eso $C = \pm 1$.

Ambos valores de $C$ funcionan cuando se sustituyen de nuevo en la ecuación diferencial original.

Pero dado que la EDO es continua para todos $y\geq 1$ y el $y$ la derivada parcial es continua para todos $y>1$, El teorema de Picard dice que debería haber una solución única para la condición inicial $y(0)=2$.

¿Hay alguna forma de que pueda probar más las dos soluciones para ver cuál no es válida?

Answer 1

Las dos soluciones \begin{align}y_1(x)&=(\sin x-1)^2+1\\y_2(x)&=(\sin x+1)^2+1\end{align}representan la misma función pero cambiada. Es decir,$\sin(x+\pi)-1=-(\sin x+1)$ entonces $y_1$ es $y_2$ desplazado por $\pi$.

Answer 2

También debe asegurarse de que, según la ecuación dada, $y'(0)=2\cos(0)\sqrt{2-1}=2$, es decir, la pendiente tiene que ser positiva. Pero$$ y_1'(x)=2\cos x(\sin x-1)\implies y_1'(0)=-2. $$

Answer 3

La solución $y=(\sin x+C)^2+1$ es solo una solución a su ecuación diferencial para $C> 0$. En el proceso de resolver la ecuación, terminas con algo como:$$\sqrt{y-1}=\sin x+C$$ Dado que esta es la raíz cuadrada positiva, necesitamos $\sin x+C\ge 0$ en todos los puntos donde $y$se define; si queremos$y$ para ser definido en un vecindario alrededor $0$ entonces necesitamos $C>0$. (Xa$C\ge 1$ la solución será válida para todos $x$.)

Tenga en cuenta que la función $y=(\sin x+C)^2+1$ es siempre una solución a la ecuación diferencial $$(y')^2=4\cos^2x\,(y-1)$$para todos $C$, tanto positivo como negativo. Has demostrado que este último DE con condición inicial$y(0)=2$ de hecho, no tiene una solución única.