Necesita una explicación sobre la solución de un problema de combinatoria que involucra cuadrados con lados paralelos

Question

Sea un número finito de cuadrados con lados paralelos en el plano, tal que si $k+1$ se eligen cuadrados, entonces existen $2$intersección de cuadrados entre ellos. Demuestre que los cuadrados se pueden agrupar en$2k-1$ conjuntos de modo que dos cuadrados cualesquiera del mismo conjunto se crucen.

Encontré este problema en AOPS, pero no pude entender la solución.

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1805602p12209708

Este es el enlace. No pude entender bien por qué "Los cuadrados que se cruzan con$ABCD$ o contiene un punto $B$ o apuntar $C$ o ambos "(como está escrito en el último comentario de la publicación). ¿Podrías aclararme? O si el problema es incorrecto, ¿podrías ayudarme con un contraejemplo? ¡Muchas gracias!

https://math.stackexchange.com/questions/3923791/need-counterexample-on-a-combinatorics-problem

Answer 1

Existe la suposición adicional en la pregunta tal como se plantea en AoPS de que los cuadrados son todos congruentes; sin pérdida de generalidad, podemos tomar la longitud del lado como$1$. $ABCD$es, en la solución proporcionada allí, (uno de) los cuadrados más a la izquierda de la colección; decir que su esquina inferior izquierda tiene coordenadas$(x,y)$. Entonces cualquier cuadrado$S$ intersección $ABCD$ debe tener esquina inferior izquierda $(u,v)$ dónde $x\le u\le x+1$ (ya que $ABCD$ es el cuadrado más a la izquierda) y $y-1\le v\le y+1$.

Es fácil demostrar que si $y-1\le v\le y$ entonces $S$ contiene $C$; Si$y\le v\le y+1$ entonces $S$ contiene $B$. Así$S$ siempre contendrá al menos uno de $B$ y $C$.