No bloqueo de la máxima entropía cuántica

Question

En este documento se explican la capacidad de bloqueo y la no capacidad de bloqueo . Una función de valor real de un estado cuántico se denomina no bloqueable si su valor no cambia demasiado después de descartar un subsistema. La máxima entropía de un estado cuántico se define como

$$H_{\max }(A)_{\rho}= \log \operatorname{tr}(\rho_{A}^{1 / 2})$$

Para un estado cuántico bipartito $\rho_{AB}$, Me gustaría saber si la entropía máxima no se puede bloquear, es decir, ¿existe alguna relación de la forma

$$\text{tr}(\rho_{AB}^{1/2}) \leq \text{tr}(\rho_{A}^{1/2})\cdot|B|$$

que, después de tomar troncos en ambos lados, produciría

$$H_{\max}(AB)\leq H_{\max}(A) + \log|B|$$

Un par de ejemplos numéricos sencillos sugieren que esto podría ser cierto, pero no he podido probarlo.

Answer 1

Dejar $D_{\alpha}(\rho\|\sigma):= \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^\alpha \sigma^{1-\alpha}]$ ser la divergencia Petz-Rényi para $\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty)$. Tenga en cuenta que para$\alpha \in (0,1)\cup(1,2]$esta cantidad satisface la desigualdad de procesamiento de datos $$ D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \geq D_{\alpha}(\mathcal{E}(\rho) \| \mathcal{E}(\sigma)), $$ dónde $\mathcal{E}$ es cualquier mapa CPTP.

Ahora deja $\rho_{AB}$ ser cualquier estado y tomar $\mathcal{E}$ para ser el rastro parcial sobre el $B$sistema. Entonces para$\alpha = 1/2$ tenemos $$ \begin{aligned} -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] &= D_{1/2}(\rho_{AB}\|I_{AB}) \\ &\geq D_{1/2}(\mathrm{Tr}_{B}[\rho_{AB}]\|\mathrm{Tr}_{B}[I_{AB}]) \\ &= D_{1/2}(\rho_{A}\||B|I_{A}) \\ &= -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A} |B|^{1/2}] \end{aligned} $$

Reorganizando lo que obtienes $$ \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] \leq \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A}] + \log|B|^{1/2} $$ que en realidad es una desigualdad ligeramente más fuerte con el exponente de $|B|$ siendo solo $1/2$.