Norma de operador de un operador hermitiano

Question

Quiero probar el siguiente resultado mencionado en Sadri Hassani: -

La primera desigualdad, es decir,$|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$es sencillo a partir de la definición de la norma de un operador. Para la desigualdad inversa, el autor mencionó el siguiente procedimiento.

No puedo entender cómo obtuvieron la desigualdad usando el resultado anterior. Además, creo que el resultado para$4\langle Hx|y\rangle $debería tener un$-i$en vez de$i$en la igualdad.

Answer 1

Con las opciones dadas para$x$y$y$, tienes eso$\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, por lo que la igualdad se reduce a$$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$También,$\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Entonces, usando la identidad del paralelogramo,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}