Norma ideal en pedidos

Aug 16 2020

Dejar $\overline{T}$ ser un anillo de Dedekind tal que $\overline{T}/\overline{I}$ es finito para cada ideal distinto de cero $\overline{I}$ de $\overline{T}$. Dejar$T$ ser un subanillo de $\overline{T}$ con el mismo anillo total de fracciones (es decir, un orden).

Dejar $I$ ser un ideal de $T$ y deja $\overline{I} = I\overline{T}$. La norma $N_T(I)$ de $I$ se define como la cardinalidad de $T/I$.

Pregunta: ¿Existe una fórmula que relacione$N_T(I)$ y $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?

Por ejemplo, parece plausible que la discrepancia sea medida por algún grupo "tor".

Observaciones:

  • Si $I$ es proyectivo entonces $N_T(I)$ y $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ son iguales.
  • La localización reduce el problema al caso cuando $T$ es local (y $\overline{T}$ es semilocal), y tanto $I$ y el director de $T$ son ideales adecuados.
  • (Gracias a Luc Guyot) Si $T$es un anillo de Bass ($\leftrightarrow$ cada anillo intermedio $T \subset R \subset \overline{T}$ es Gorenstein $\leftrightarrow$ todo ideal es generado por dos elementos), y $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, luego por [2, Proposición 5.8] $I$es proyectiva. Resulta que$N_T(I)$ y $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ son iguales (por la primera observación).
  • (generalización de la tercera observación) si $T$es un dominio integral de Gorenstein y$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, entonces $I$es proyectiva. Esto se sigue de combinar el Teorema 6.2 (4) con la Proposición 7.2 de [1]. Resulta que$N_T(I)$ y $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ son iguales (por la primera observación).

[1] H. Bass, "Sobre la ubicuidad de los anillos de Gorenstein", 1963.

[2] L. Levy y R. Wiegand, "Comportamiento similar al de Dedekind de los anillos con ideales generados por dos", 1985.

Respuestas

4 LucGuyot Aug 18 2020 at 07:46

Comenzaré con una observación general que se ilustrará mediante un cálculo en un orden arbitrario de campo numérico cuadrático.

Si $\overline{I}$ contratos para $I$, es decir, si $\overline{I} \cap R = I$, luego la inclusión $R \rightarrow \overline{R}$ induce un inyectivo $R$-Homomorfismo de módulo $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. Como resultado,$N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ y en particular tenemos $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. Si por ejemplo$I$ es un ideal primordial, entonces $N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.

La pregunta subyacente que no respondo es:

Pregunta. ¿Es siempre cierto que$N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, o al menos eso $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?

Editar. La respuesta OP contiene una prueba de que$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ es cierto para todo ideal distinto de cero de $R$.

No abordaré la pregunta anterior. En cambio, introduciré una condición en$R$ bajo el cual $N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ por cada ideal distinto de cero $I$ de $R$.

Proposición. Si un ideal distinto de cero$I$ de $R$ es proyectiva sobre su anillo de multiplicadores $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, entonces tenemos $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$

Nota al margen. ese$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ dónde $K$ denota el campo de fracciones de $R$, ya que $R$ es Noetherian.

Lema 1 (Reclamación de OP) . Si$I$ es un ideal invertible de $R$ entonces $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.

Prueba. Primero, pruebe el enunciado para un ideal principal distinto de cero$I$. Luego descomponga el$R$-módulo de longitud finita $\overline{R}/\overline{I}$ como suma directa de sus localizaciones con respecto a los ideales máximos de $R$[4, Teorema 2.13]. Haz lo mismo para$R/I$ y comparar las cardinalidades de los sumandos.

Prueba de la propuesta. Por el Lema 1, tenemos$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. Por lo tanto$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.

Tenga en cuenta que si $R$ es un orden cuyos ideales se generan en dos (p. ej., un orden en un campo cuadrático o un orden cuyo discriminante es libre de cuarta potencia [2, Teorema 3.6]), entonces todo ideal distinto de cero de $R$satisface la hipótesis de la proposición anterior, ver, por ejemplo, [1], [2] y el Teorema 4.1, Corolarios 4.3 y 4.4 de las notas de Keith Conrad . El OP analiza resultados similares en sus comentarios y su respuesta.

Dejar $m$ser un entero racional libre de cuadrados. Establecimos$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ y denotar por $\mathcal{O}(K)$ el anillo de enteros del campo cuadrático $K$.

Reclamación suelta. Dado una orden$R$ de $K$ y un ideal $I \subseteq R$, calcularemos $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ como una función de $N_R(I)$ y de una forma cuadrática binaria asociada a $I$.

Para hacerlo, introducimos algunas anotaciones y definiciones.

Ajuste $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ tenemos $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ y cualquier orden de $K$ es de la forma $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ por algún entero racional $f > 0$[2, Lema 6.1]. Además, la inclusión$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ es cierto si y solo si $f'$ divide $f$. Si$I$ es un ideal de $\mathcal{O}_f(K)$, luego su anillo de multiplicadores $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ es el pedido más pequeño $\mathcal{O}$ de $K$ tal que $I$ es proyectivo, equivalentemente invertible, como un ideal de $\mathcal{O}$[2, Proposición 5.8]. Vamos a arreglar$f > 0$ y establecer $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$

Un ideal $I$ de $R$se dice que es primitivo si no se puede escribir como$I = eJ$ algún entero racional $e$ y algo ideal $J$ de $R$.

La herramienta principal es el Lema de base estándar [5, Lema 6.2 y su demostración].

Lema 2. Sea$I$ ser un ideal distinto de cero de $R$. Entonces existen enteros racionales$a, e > 0$ y $d \ge 0$ tal que $-a/2 \le d < a/2$, $e$ divide a ambos $a$ y $d$ y tenemos $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ Los enteros $a, d$ y $e$ están determinados únicamente por $I$. Tenemos$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ y el entero $ae$ es igual a la norma $N_R(I) = \vert R /I \vert$ de $I$. El ideal$I$ es primitivo si y solo si $e = 1$.

Tenga en cuenta que, desde $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, el entero racional $a$ divide $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. Llamamos a los pares generadores$(a, d + ef \omega)$la base estándar de$I$. Asociamos a$I$ la forma cuadrática binaria $q_I$ definido por $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$

Entonces tenemos $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ con $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$Definimos el contenido$c(q_I)$ de $q_I$ como el máximo común divisor de sus coeficientes, es decir $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$

Observación. Tenemos$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ dónde $f'$ es el divisor de $f$ tal que $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.

Reclamación. Dejar$I$ ser un ideal distinto de cero de $R$. Entonces tenemos$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$

Prueba. Ya que$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ y $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ para cada $x \in R \setminus \{0\}$, podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que $I$ es primitivo, es decir, $e = 1$. De las definiciones se desprende inmediatamente que$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ dónde
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$Ahora basta con calcular la forma normal de Smith $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ de la matriz $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ dónde $(v_1, v_2)$ es la matriz de $v$ Con respeto a $\mathbb{Z}$-base $(1, \omega)$ de $\overline{R}$. El coeficiente$d_1$ es el máximo común divisor de los coeficientes de $A$ y se ve fácilmente como $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. El coeficiente$d_2$ es el máximo común divisor de $2 \times 2$ menores de $A$ dividido por $d_1$ y se ve fácilmente como $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. Así$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ tiene la forma deseada.


[1] J. Sally y W. Vasconcelos, "Anillos estables", 1974.
[2] C. Greither, "Sobre el problema de dos generadores para los ideales de un anillo unidimensional", 1982.
[3] L. Levy y R. Wiegand, "Comportamiento similar al de Dedekind de los anillos con$2$-ideals generados ", 1985.
[4] D. Eisenbud," Álgreba conmutativa con miras a la geometría algebraica ", 1995.
[5] T. Ibukiyama y M. Kaneko," Formas cuadráticas y teoría ideal de campos cuadráticos ", 2014 .

2 AWO Aug 21 2020 at 05:32

Estoy registrando, para beneficio de otros, lo que, a mi entender, es el alcance total de lo que se sabe sobre el problema general. Luc Guyot ha proporcionado una respuesta agradable y explícita para el caso de los órdenes cuadráticos.

No marco esta publicación como "la respuesta" ya que la pregunta original aún no ha sido respondida.

Deje que la discrepancia de un$T$-ideal $I$ ser definido como $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (definición no estándar).

Cuando hace $ds(I) = 1$?

El siguiente teorema es la herramienta principal del artículo [1]. La declaración utiliza la notación de índice de módulo de [2].

Teorema [1; Teorema 1]:

  1. $[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
  2. $[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
  3. $[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.

Además, los siguientes son equivalentes:

  • Cualquier relación de subconjunto entre (1), (2), (3) es una igualdad.
  • Todas las relaciones de subconjunto entre (1), (2), (3) es una igualdad.
  • $I$ es invertible.

Este teorema tiene los siguientes corolarios para la "discrepancia". Recuerde que lo diferente de$T$ se define como $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ dónde $T^\vee$ es el dual de $T$ para el formulario de seguimiento.

Corolario :$ds(I) \geq 1$ con igualdad si y solo si $I$ es invertible.

Corolario : Los siguientes son equivalentes:

  • La discrepancia de $\mathfrak D_{T}$ es $1$.
  • Por cada ideal $I$ de $T$, $ds(I) = 1$ si y solo si $T = (I:I)$.
  • $T$ es Gorenstein.

Todo en estos corolarios se sigue inmediatamente del teorema excepto el segundo punto del segundo corolario que se sigue de la conocida equivalencia $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ cuando $T$ es Gorenstein (véase, por ejemplo, [3; Proposición 5.8] o [4; Proposición 2.7]).

Caso cuadrático

[Siguiendo la anotación en la respuesta de Luc Guyot]

Utilizando los corolarios anteriores, volvemos a examinar el caso cuadrático. La discrepancia es invariante bajo homotecias, por lo que podemos suponer el ideal$I$ es primitivo$e = 1$). Por [5; Lema 6.5], el ideal$I$ satisface $R = (I:I)$ si y solo si $\gcd(a,b,c) = 1$. De hecho, la fórmula de la discrepancia en la respuesta de Luc Guyot es precisamente$\gcd(a,b,c)$. (Por el comentario en la respuesta de Luc Guyot, incluso tenemos$ds(I) = f/f'$ dónde $f$ es el conductor de $T$ y $f'$ es el conductor de $(I:I)$.) Así la fórmula $ds(I) = c(q_I)$ es coherente con el segundo corolario.

Límite superior

Derivaremos un límite superior para $ds(I)$ que es independiente de $I$. yo asumo eso$T$es un dominio de la simplicidad. Podemos suponer que$T \neq \overline{T}$ y establecer $S = \overline{T}$. Dejar$\mathfrak f$ denotar el conductor de $T$.

Límite superior : para cualquier ideal fraccional T$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$

Dos $T$-Los ideales fraccionales pertenecen al mismo género si son localmente isomorfos; de manera equivalente, existe un T-ideal invertible que multiplica un ideal en el otro.

Reclamo : Cualquiera$T$-ideal fraccional $I$ es del mismo género que un $T$-ideal fraccional $J$ tal que $\mathfrak f \subset J \subset S.$

Prueba: dejar $P$ ser un ideal primordial de $T$ y deja $S_P$ denotar el cierre integral de $T$(cierre integral conmuta con localización). Basta construir un$T_P$-ideal fraccional que es isomorfo a $I_P$ tal que $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ donde el subíndice denota tensor con $T_P$. $S_P$es un producto finito de los anillos locales de Dedekind, por lo que es un PID. Por lo tanto$I_PS_P = \alpha S_P$ para algunos $\alpha$ en $Quot(T)$. Dejar$J_P = \alpha^{-1}I_P$. Luego$J_P \subset S_P$, pero también $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$

Reclamo : la discrepancia$ds(I)$ es constante en los géneros.

Prueba: esto se prueba localizando y utilizando que un ideal invertible de $T$ es localmente principal (este último hecho se deriva de [5; Proposición 2.3]).

Juntando estas afirmaciones, tenemos eso para $I$ ninguna $T$-ideal fraccional, $ds(I) = ds(J)$ para algunos $T$-ideal fraccional $J$ tal que $\mathfrak f \subset J \subset S$. De 1; Teorema 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. También tenemos$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, y entonces $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. Escribir$M' = M/\mathfrak f$ para cualquier módulo que contenga $\mathfrak f$. Juntando las desigualdades tenemos

$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$

El último término está delimitado desde arriba por $|S/T| |S/\mathfrak f|$.

Conclusión

La función de discrepancia satisface la desigualdad, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, para cualquier $T$-ideal fraccional $I$, y admite una fórmula explícita y natural en términos de conductores en el caso cuadrático. Sin embargo, parece que se desconoce si a la función de discrepancia se le puede dar una "forma cerrada" en general (por ejemplo, una expresión en términos del conductor de$T$, los diferentes o discriminantes de $T$ y $\overline{T}$, Ext o Tor grupos sobre $T$ o $\overline{T}$).

Referencias:

[1] I. Del Corso, R. Dvornicich, Relaciones entre Discriminante, Diferente y Conductor de una Orden , 2000.

[2] A. Fröhlich, Campos locales , de JWS Cassels y A. Fröhlich, Teoría algebraica de números , 1967.

[3] L. Levy y R. Wiegand, Comportamiento similar al de Dedekind de los anillos con ideales generados en dos , 1985.

[4] J. Buchmann y HW Lenstra, Jr., Aproximación de anillos de números enteros en campos numéricos , 1994.

[5] VM Galkin, $\zeta$-funciones de algunos anillos unidimensionales , 1973.