Norma sobre la suma de espacios de funciones

Question

¿Cuál es la convención para la norma dotada de una suma de espacios?$X+Y$, así como en la intersección de espacios$X\cap Y$?

Estoy leyendo un artículo donde los autores usan una suma de espacios de funciones sin escribir la norma explícitamente y no hacen más comentarios.

Estoy pensando que tal vez la norma más plausible para$X\cap Y$es$\|f\|_X +\|f\|_Y$con la norma para$X+Y$entonces siendo$\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.

Disculpas si esta pregunta es un duplicado, en cuyo caso estaré feliz de eliminarla. No pude encontrar una pregunta similar en el intercambio de pila de matemáticas.

Answer 1

https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space

Asumir que$X$y$Y$incrustar continuamente en un espacio vectorial topológico de Hausdorff$Z$(de modo que$X\cap Y$y$X + Y$tener sentido). Las normas que se suelen utilizar son:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$la norma para$X \cap Y$tiene sentido y es equivalente a la norma que sugirió. Para$X+Y$, el mínimo de las dos normas, por desgracia, no es una norma.

En su lugar, piensa en el espacio$X \oplus Y$con la norma$\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Mira el subespacio$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Después$X + Y$es isomorfo al espacio del cociente$(X \oplus Y) / U$. Esto proporciona una prueba rápida de que$X + Y$equipado con la norma anterior es de hecho un espacio de Banach.