Notación de término de segundo orden del lema de Ito.

Dec 29 2020

Tengo una pregunta de notación aquí.

En la forma más simple del lema de Ito, tenemos este

$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$

Yo se como calcular el $ d\langle Y \rangle_t $ plazo, pero siempre quiero preguntar

  • ¿Cuál es el nombre del término y qué significa exactamente?
  • ¿Por qué está escrito de una manera tan especial pero sin usar $ Cov() $, o $ Var() $?

Conceptualmente para mí, esa es la variación del proceso, pero simplemente no entiendo la notación. Por que el subíndice$ t $ está siendo puesto fuera del $ \langle \cdot \rangle $.

¿Puedo escribirlo como cualquiera de estos a continuación?

$ \langle dY_t \rangle $

$ d \langle Y_t \rangle $

Si hay dos procesos involucrados, siguiendo el patrón, supongo que debería escribirse así $ d\langle X, Y \rangle_t $, pero ¿puedo escribirlo así a continuación?

$ \langle dX_t, dY_t \rangle $

$ d\langle X_t, Y_t \rangle $

¿También puedo escribirlo en forma integral? ¿Dónde debería poner el$ t $ si lo estoy escribiendo en forma integral?

Muchas gracias

Respuestas

3 JanStuller Dec 29 2020 at 01:05

Notación de mano larga / corta:

Personalmente, siempre he encontrado confusa la notación abreviada y hasta el día de hoy trato de evitarla siempre que sea posible. A continuación, intentaré demostrar por qué es confuso y conduce a errores comunes.

En la notación de "mano larga", un proceso Ito $X_t$ se define de la siguiente manera:

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$

Sobre, $a(X_t,t)$ y $b(X_t,t)$ son algunos procesos integrables al cuadrado.

Vale la pena señalar que la variación cuadrática de$X_t$ entonces sería:

$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$

(esto se desprende de la definición de variación cuadrática para procesos estocásticos, consulte la edición al final de esta publicación)

Ahora, en notación abreviada, podemos escribir la ecuación para $X_t$ arriba como:

$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$

En primer lugar, ¿qué significa realmente la notación abreviada? Podríamos definir$\delta X_t$ como sigue:

$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$

Y entonces $dX_t$ podría entenderse (intuitivamente, no rigurosamente) en la línea de:

$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$

Pero creo que es mejor entender la notación abreviada por lo que realmente es: es decir, una abreviatura de las integrales estocásticas.

Lema de Ito:

Ahora, el Lema de Ito establece que para cualquier proceso de Ito $X_t$, cualquier función dos veces diferenciable $F()$ de $X_t$ y $t$ obedecería la siguiente ecuación:

$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$

Arriba, puede ver el término " variación cuadrática ":

$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$

(que, en notación "abreviada", podría escribirse como $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, es decir, exactamente igual que el tuyo $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, Solo uso $F$ en vez de $f$ y $X_t$ en vez de $Y_t$: de nuevo, encuentro la abreviatura mucho menos intuitiva que la notación a mano larga, incluso después de años de jugar con los procesos de Ito).

Por qué no utilizar la notación abreviada

Ahora me gustaría mostrar un ejemplo de por qué creo que la notación abreviada puede ser muy confusa: vayamos con el proceso de Ornstein-Uhlenbeck (a continuación, $\mu$, $\theta$ y $\sigma$ son parámetros constantes):

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$

Tenemos $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ y $b(X_t,t) = \sigma$.

El truco para resolver lo anterior es aplicar el lema de Ito a $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, lo que da:

$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$

Ahora, para obtener la solución para $X_t$, el paso final es simplemente dividir ambos lados por $e^{\theta t}$, para aislar el $X_t$ término en el LHS, que da:

$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$

He visto a muchas personas tratando de resolver el Ornstein-Uhlenbeck escribiendo todo usando la notación "abreviada", y en el último paso, cuando dividimos entre $e^{\theta t}$, He visto personas "cancelar" los términos que normalmente se escribirían como $e^{\theta h}$ dentro de las integrales: porque la notación abreviada no distingue entre lo que es una variable ficticia de integración (es decir, "$h$") y lo que ya se había integrado a"$t$".

En conclusión, no recomendaría usar la notación abreviada para los SDE, y si la encuentra, le recomendaría "traducirla" a lo que realmente significa (es decir, la notación "larga"): al menos para mí , ha hecho las cosas mucho más fáciles de comprender.

Editar sobre variación cuadrática : la variación cuadrática para procesos estocásticos se define como un límite en la probabilidad a medida que el tamaño de la malla se vuelve más y más fino, específicamente para un movimiento browniano, podríamos escribir$\forall \epsilon > 0$:

$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

Es decir, la probabilidad de que la variación cuadrática converja a $t$va a 1 a medida que el tamaño de la malla se vuelve infinitamente fino (la prueba es bastante técnica, ver por ejemplo aquí , donde en realidad parecen demostrar convergencia casi con seguridad (lo que implica convergencia en probabilidad)).

Observe que entonces podemos simplemente escribir:

$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ y así obtener la conocida fórmula:

$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$