Notación, descripción de componentes de matrices

Question

Estoy trabajando en mi tesis de maestría y tengo dificultades para describir con precisión algunas matrices que se juntan de manera extraña. Quería pedir ayuda para no cometer errores aquí.

En general, mi matriz tiene las siguientes dimensiones

$$ \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Esta matriz consta de$2+2J$variables o arreglos con una longitud de$M$. Dos variables son escalares a las que me refiero a lo largo de mi tesis:

$$ R_d \in \mathbb{R}^{1}, \quad g \in \mathbb{R}^{1} $$

Sin embargo, otras dos variables en sí mismas son arreglos con$J$variables Se dan con:

$$ \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{J}, \quad \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{J} $$

Ahora me gustaría describir matemáticamente cómo$\mathbf{X}$está estructurado. Pensé que uno podría describirlo de la siguiente manera:

$$ \mathbf{X} = [Rd\; g \; \mathbf{p}\; \mathbf{q} ] \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

No estoy seguro de si esto es matemáticamente correcto ya que me falta la primera dimensión en las variables miembro. ¿Existe una notación mejor para describir la estructura de$\mathbf{X}$? ¿Qué sucede cuando es necesario invertir las dimensiones? Asumiría que cuando enumero los miembros entre corchetes, esto se relacionaría con la primera dimensión$M$en vez de$2 + 2J$.

Una descripción alternativa podría verse así:

$$ \mathbf{X} = [R_{d,m}\; g_m \; \mathbf{p}_m\; \mathbf{q}_m ] \in \mathbb{R}^{2+2J \times M} $$

con$g_m \in \mathbb{R}^{M}$o$\mathbf{q}_m in \mathbb{R}^{M \times J}$. (También invirtió las dimensiones de$\mathbf{X}$.) ¿Sería esta una notación más precisa?

Answer 1

Lo que está describiendo se conoce comúnmente como una matriz de bloques.$$ X = \bigg[ \begin{array}{c|c|c|c} P & Q & \mathbf{r} & \mathbf{g} \end{array} \bigg] $$con matrices$P\in{\mathbb{R}^{m\times j}}$y$Q\in\mathbb{R}^{m\times j}$y vectores$r\in\mathbb{R}^m$, y$g\in\mathbb{R}^m$

Si está escribiendo para una audiencia que no está familiarizada con esta notación, puede agregar la detallada pero explícita:

$$ X = \left[ \begin{array}{cccc|cccc|c|c} p_{11} &p_{12} &\cdots & p_{1j} & q_{11} &q_{12} &\cdots & q_{1j} & r_1 & g_1 \\ p_{21} &p_{22} &\cdots &p_{2j} & q_{21} &q_{22} &\cdots &q_{2j} & r_2 & g_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mj} & q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{mj} & r_m & g_m \end{array} \right] $$

Para obtener más ejemplos sobre cómo escribir matrices de bloques, consulte:https://wp.kntu.ac.ir/hadizadeh/pdf/latex/lesson_12[1].pdf