Número de cuadrados entre dos números naturales
dados los numeros naturales$m>n\in \mathbb{N}$cuantos cuadrados hay entre$m$y$n$? es decir, cuantos numeros naturales$k\in \mathbb{N}$satisfacer eso$n \leq k^2\leq m$?
Creo que si tuviéramos que conocer el cuadrado más grande$k^2=s\leq m$y el cuadrado mas pequeño$\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, entonces el número de cuadrados que estoy buscando sería$k-\tilde{k}+1$, pero ¿hay una forma sencilla de encontrar estos cuadrados? Estaría bien con los límites que son funciones del tamaño$m-n$.
Respuestas
El número de cuadrados entre dos números naturales.$m$y$n$=$\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.
Prueba: Deja$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$dónde$a$es el menor número natural cuyo cuadrado es mayor o igual que$n$y$a+s$es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual que m.
Ahora, por simple observación,$\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$y$\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$y el número de cuadrados entre los dos números naturales es$s+1$.