Operador compacto con inversa continua

Question

Dejar $K:E \rightarrow E$ ser un operador compacto en un espacio normado $E$. Dejar$R^q$ ser el rango de $(\lambda I-K)^q$ dónde $q$ es tal que $R^n = R^q$ para todos $n \geq q$. Además, la restricción$(\lambda I - K)|_{R^q}$tiene una inversa. Demuestre que la inversa de esta restricción$(\lambda I-K)|_{R^q}^{-1}$ es continuo.

Dado que estos son operadores lineales, continuo equivale a acotado. Entonces,$(\lambda I -K)$ es continuo (porque $K$es compacto), luego acotado. Por lo tanto, hay un$C > 0$ tal que $||(\lambda I - K)x|| \leq C ||x||$. La única pista que tengo es que tengo que demostrar que hay un$C_2>0$ tal que $$||(\lambda I - K)x|| \geq C_2 ||x||.$$Pero no veo por qué esto prueba la afirmación. Dado que estoy trabajando con la restricción de$R^q$, $x \in R^q$ entonces $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)(\lambda I -K)^q y$ para algunos $y \in E$. Pero desde$R^q = R^{q+1}$, $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)^q z$ para algunos $z \in E$. Y ahora estoy estancado. Entonces, traté de escribir$x = (\lambda I-K)^{-1}[(\lambda I-K)x]$pero no obtuve nada. ¿Alguna pista? Gracias

Answer 1

supongo $\lambda$se supone que es distinto de cero, ¿correcto? Si es así,$\lambda I-K$ es un operador de Fredholm en $R^q$cuyo índice es cero. Desde el índice de un operador de Fredholm$T$ es definido por $$\text{ind}(T)= \text{dim}(\text{Ker}(T)) - \text{codim}(\text{Ran}(T)), $$ y desde $\lambda I-K$ está en $R^q$ por el supuesto de que $R^q=R^{q+1}$, deducimos que $\lambda I-K$ es uno a uno, y por tanto invertible en $R^q$.

También es bien sabido que el alcance de un operador Fredholm siempre está cerrado, por lo que $R^q$está cerrado, y por lo tanto un espacio de Banach. Finalmente, desde$\lambda I-K$ es invertible en $R^q$, el teorema de mapeo abierto implica que $(\lambda I-K)^{-1}$ es continuo en $R^q$.

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PD: Me doy cuenta de que aquí podría haber algunos resultados bastante sofisticados, así que no dude en preguntar si desea que sea más explícito con alguna de las declaraciones anteriores.