Operador de matriz simétrica

Question

Dejar $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ser una matriz simétrica con valores propios $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ y descomposición espectral dada por $$ A = PDP^{\top}, $$ dónde $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ y $P$ es ortogonal.

Dejar $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ ser un conjunto tal que $\lambda_i\in\mathcal{S}$ para todos $i$y definir alguna función $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Definimos la matriz $f(A)$ como $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ dónde $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Es $f(A)$ bien definido?

Quiero decir, la descomposición espectral $A = PDP^{\top}$ no es único ya que podría haber $i,j$ S t $\lambda_i=\lambda_j$, lo que provoca que $P$ no es único.

¡Cualquier idea será apreciada!

Answer 1

Está bien definido. La razón es que$f(D)$ se puede expresar como un polinomio en $D$ (cuyo grado y coeficientes dependen de $f$ y $D$), que hace $f(A)$ expresable como polinomio en $A$. De hecho, si$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$son esos valores propios distintos de$A$ y $g$ es el polinomio de interpolación de Lagrange $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ entonces $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ para cada $i$. (En el caso de la esquina donde$A=\mu I$, definimos $g$ como el polinomio constante $f(\mu)$.) Por lo tanto $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ para cada $i$ (porque cada $\lambda_i$ es algo $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ y $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Ya que$g$depende sólo del conjunto múltiple desordenado de valores propios de$A$ pero no en $P$ o en el orden del $\lambda_i$s en la diagonal de $D$, el producto $Pf(D)P^T$ siempre se evalúa con el mismo valor, es decir $g(A)$, independientemente de la descomposición espectral realizada.

Answer 2

Porque $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Definir $P^0=I$. Entonces sí$p$ es un polinomio, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Para la matriz diagonal $D$ con diagonal $d_1,d_2,\cdots,d_N$, esta definición de $p(D)$ da la matriz diagonal con diagonal $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Esto es consistente con la evaluación estándar de un polinomio con la matriz$A$. Y puedes ver eso$(pq)(A)=p(A)q(A)$ por ejemplo.