Optimizaciones en circuitos cuánticos

Question

En un artículo titulado Sobre circuitos cuánticos que emplean raíces de las matrices de Pauli , encontré esta figura, donde no pude entender la igualdad en los circuitos circulados. Necesito una explicación de cómo los circuitos en el círculo son iguales con las reglas utilizadas en la reducción. Especialmente el CNOT subrayado en rojo - ¿Cómo se reduce?

Answer 1

Los dos CNOT que han desaparecido se han movido hacia la derecha hasta que llegan al CNOT entre los dos qubits superiores. Luego se mueven a través de ese CNOT, que cancela a uno de ellos. El restante se movió luego al lado derecho del circuito usando el hecho de que su control puede viajar sin modificaciones a través de operaciones de fase (S, T) y CNOT emparejados.

Dicho esto, la descomposición que ha transmitido no es óptima. Dado que las dos operaciones de Toffoli comparten un objetivo y un control, se pueden fusionar en una sola operación de Toffoli. Así es como se ve:

Y esto se puede descomponer en un circuito usando cuatro puertas T (en lugar de ocho) usando una ancilla :

Answer 2

Para las igualdades de circuito, encuentro que usar quirk con la dualidad de canal de estado es súper útil donde configura el inverso de un circuito, ve la identidad en la pantalla de amplitud y luego juega con las puertas y luego en el lado izquierdo.

En la igualdad dada, este es mi pensamiento:

• Voy a ignorar el prefijo equivalente de los dos circuitos.

• este circuito son puertas CNOT, que permutan los subespacios y las puertas del phaser (T / S solo están poniendo en fase el subespacio | 1> del qubit dado) - puede pensar en "conmutar" las puertas de fase sobre las puertas CNOT de dos maneras: 1) el control CNOT conmuta 2) si tiene el mismo CNOT incluso veces, las permutaciones CNOT se igualan, por lo que tendrá un circuito equivalente => esto explica por qué la puerta S se puede conmutar al final

• Ahora, si ignoramos las puertas del phaser por un segundo, obtenemos este circuito (ver en la dualidad de canal de estado peculiar para jugar)

  

  Y la pregunta es por qué esto equivale a

  

• Podemos eliminar las identidades, después de lo cual la pregunta es: ¿Por qué

  

  equivalente a

  

• este último puede entenderse mediante la regla de duplicación de CNOT (regla VI en este artículo ):

  agregar dos CNOT es una identidad

  

  duplicar el primer CNOT da como resultado la adición del nuevo CNOT

  

  después de lo cual podemos conmutar los CNOT a sus lugares

  

Estoy seguro de que hay explicaciones más sencillas :)