Orden-Estadísticas [duplicado]

Question

Las variables aleatorias $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ son iid $\mathcal{U}(0, a)$. Determine la distribución de$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ ¿Debería encontrar la distribución conjunta de $\max$ y $\min$ y luego encontrar la distribución de $Z_n$, ya que tenemos dos variables aleatorias diferentes, ¡no sé cómo hacer eso!

Answer 1

Primero observe que el vector aleatorio $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ es compatible con $(0,a)^2$. Suponer$f$es su densidad articular. Ya que$X_{(n)}$ y $Y_{(n)}$ somos independientes, tenemos $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ para cualquier $(x,y)\in (0,a)^2$. También observe cómo$Z_n$ es compatible con $[0,\infty)$, lo que significa para cualquier $z\geq 0$ tenemos $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Con un poco de álgebra tenemos $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Esta probabilidad se puede escribir como la integral doble $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ que muestra $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.