$P\cdot (Q \times P)$dónde$P$y$Q$son vectores

Question

La respuesta es cero, pero ¿por qué?

mi teoría es que$P.Q$es un producto escalar, no puede hacer un producto cruzado entre el vector restante y el escalar

pero estaba escrito en la respuesta que el producto vectorial del vector sería paralelo al paralelogramo del vector y, por lo tanto, paralelo a$P$. y el producto punto$P$con otro vector paralelo sería cero

Entonces, ¿cuál es el método correcto?

(la pregunta no especifica cuál viene primero-$(P\cdot Q)\times P$o$P\cdot (Q \times P)$en caso de que fuera relevante)

Answer 1

Hay dos formas en que podemos asociar términos, ya sea como$(P \cdot Q) \times P$, o como$P \cdot (Q \times P)$. Afortunadamente, el primero no tiene sentido, estaríamos cruzando un vector con un escalar (uf, ¿cuántas veces he escuchado ese chiste?). Entonces, la forma correcta de interpretarlo es tomarlo como$P \cdot (Q \times P)$, que puntea correctamente un vector con otro vector.

Para ver por qué esta cantidad es cero, recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector que es ortogonal (perpendicular) a ambos. Asi que$Q \times P$es ortogonal a ambos$Q$y$P$. De este modo$P \cdot (Q \times P)$es un producto punto entre dos vectores ortogonales. ¿Recuerdas cuál es el resultado siempre que punteas dos vectores ortogonales?

Answer 2

$Q\times P$es perpendicular al plano atravesado por$P$y$Q$, asi que$P\cdot(Q\times P)=0$.

tienes razón en eso$(P\cdot Q)\times P$no tiene sentido desde$P\cdot Q$es un escalar.