Papel de la monotonicidad en secuencias de variación acotada.

Question

Recordar que; Una secuencia$\left\{x_{n}\right\}$de números reales se dice que es de variación acotada si la serie$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$converge.

Sabemos que la sucesión convergente no necesita ser una sucesión de variación acotada tomando$x_n=\frac{1}{n}$incluso para$n$y$0$por impar$n$. Pero, ¿qué pasa con las secuencias convergentes monótonas? ¿Son secuencias de variación acotada? Si es así, ¿cómo probar eso?

Answer 1

Pista: si$\{x_n\}$esta incrementando,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$