Para mostrar que la integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ converge y es menor o igual que $n^{3/2}\pi$ [duplicar]

Question

Considere un polinomio $p \in \mathbb{R}[x]$ de grado $n$y sin raíces reales. Pruebalo$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$converge, y es menor o igual que $n^{3/2}\pi$

Mi acercamiento

Ahora deja $x_1, x_2, \dots, x_n$ ser las raíces de $p$. Por Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

No sé qué hacer a continuación. Si me equivoco, proporcione una respuesta detallada en la sección de respuestas. He mostrado lo que he pensado o hecho.

¿Alguien puede confirmar si mi proceso de pensamiento es correcto?

Solo un recordatorio ... Esta pregunta ha estado sin respuesta durante mucho tiempo

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, podemos definir: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$

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Ahora por el teorema multinomial: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ A partir de esto, debería poder encontrar una expresión para: $p_n^2$ y $p_n'^2$.

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Ahora también tenga en cuenta que por lo que sabemos (debido a que no hay raíces reales): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ lo sabemos: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ y así queda claro que: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$