Para un entero positivo $n\geq 2$ con divisores $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, Pruebalo $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

OMI 2002 P4 dejar $n\geq 2$ ser un entero positivo con divisores $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Pruebalo$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$, y determinar cuando es un divisor de $n^2$

Estoy intentando esta pregunta pero se me acaban las ideas, ¿alguien podría dar una pequeña pista o sugerencia? Por favor, sin darme la solución.

Estoy tratando de utilizar el hecho de que el producto de $d_i$*$d_{i+1}$ es un divisor de $n^2$ (y todos son diferentes) y tal vez intente usar la fórmula para la suma de divisores para ver si esta suma específica es menor que $n^2$

Respuestas

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

Pista 1: ¿Qué tan grande puede $d_{k-1}$ ser en función de $n$? Qué pasa$d_{k-2}$?

Pista 2: Deja $p$ ser el factor primo más pequeño de $n$. Que puedes decir sobre$d_{k-1}$ en términos de $n,p$? ¿Cuál es el divisor más grande (adecuado) de$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

Ya que $d$ es un divisor de $n$ si y solo si $n/d$ es, tenemos $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {desde $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\Correcto]$}$$

Para la segunda parte, deja $n$ ser compuesto y $p$ ser el factor primo más pequeño de $n$. Entonces tenemos$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Ahora si $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ es un divisor de $n$ entonces debemos tener $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Pero$p>\frac{n^2}{N}$ es una contradicción ya que $p$ es el divisor primo más pequeño de $n^2$. Entonces$N\mid n^2$ si y solo si $n$ es un primo.